kreis, flächeninhalt dreieck....

28.11.2004, 23:08	müsli20	Auf diesen Beitrag antworten »
kreis, flächeninhalt dreieck.... Hallöchen, hab mal wieder ein problem mit einer aufgabe. Hoffentlich kann mir einer von euch erklären wie man das rechnen muss.... Bitte bitte!!! Zeigen sie , dass unter allen in einen Kreis eingeschriebenen Dreiecken die gleichseitigen den maximalen Flächeninhalt besitzen. Hab überhaupt keine Idee wie man da ran geht. Vielen vielen Dank schonmal im vorraus liebe Grüße, müsli
02.12.2004, 11:49	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kreis, flächeninhalt dreieck.... Dazu stellt man sich 3 Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{v}_{1}^{0}, \vec{v}_{2}^{0}, \vec{v}_{3}^{0} \end{eqnarray}$ vor. Sie zeigen vom Ursprung (0,0) auf den Einheitskreis. Zur Flächeninhaltsberechnung braucht man 2 Seiten des Dreiecks, etwa $\begin{eqnarray} \vec{v}_{1} = \vec{v}_{1}^{0} - \vec{v}_{2}^{0}, \vec{v}_{2} = \vec{v}_{1}^{0} - \vec{v}_{3}^{0} \end{eqnarray}$ Der Flächeninhalt ist $\begin{eqnarray} F = (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (\vec{v}_{1}^{0} \times \vec{v}_{2}^{0} + \vec{v}_{2}^{0} \times \vec{v}_{3}^{0} + \vec{v}_{3}^{0} \times \vec{v}_{1}^{0})/2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ das Kreuzprodukt ist. Daraus folgt, weil es sich um Einheitsvektoren handelt und mit $\begin{eqnarray} \alpha = \angle(\vec{v}_{1}^{0}, \vec{v}_{2}^{0}), \beta = \angle(\vec{v}_{2}^{0}, \vec{v}_{3}^{0}), \gamma = \angle(\vec{v}_{3}^{0}, \vec{v}_{1}^{0}) \end{eqnarray}$ als Winkel zwischen den Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma \doteq \max \end{eqnarray}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma = 2 \pi \end{eqnarray}$ Also sucht man die Extrema von $\begin{eqnarray} f(\alpha, \beta) = \sin\alpha + \sin\beta - \sin(\alpha + \beta) \end{eqnarray}$ Die notwendigen Bedingungen (Ableitungen von f nach alpha und beta = 0) liefern $\begin{eqnarray} \cos\alpha = \cos\beta \end{eqnarray}$ und es bleibt $\begin{eqnarray} \cos\alpha = \cos(2 \alpha) \end{eqnarray}$ zu lösen. Die Lösung ist 2 Pi/3, damit stehen die 3 Einheitsvektoren paarweise im Winkel von 120 Grad zueinander und das gesuchte Dreieck mit dem grössten Flächeninhalt ist gleichseitig.
02.12.2004, 11:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kreis, flächeninhalt dreieck.... Es gibt auch einen "eleganten" geometrischen Zugang: Sei ABC ein Dreieck mit maximalen Flächeninhalt. Beweis der Gleichseitigkeit (indirekt): Angenommen, ABC ist nicht gleichseitig, o.B.d.A. seien die Längen \|AC\| und \|BC\| verschieden. Dann sei D derjenige Schnittpunkt der Mittelsenkrechte von AB mit dem Kreis, der auf derselben Seite der Gerade AB liegt wie C. Sind nun h_C bzw. h_D die Höhenlängen auf AB im Dreieck ABC bzw. ABD, dann gilt h_C < h_D !!! Da beide Dreiecke die gleiche Basisseite AB besitzen, hat demzufolge Dreieck ABD einen größeren Flächeninhalt als ABC - das ist ein Widerspruch zur Maximalität der Fläche von ABC.

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