Erwartungswert

29.11.2004, 21:02

Gast

Erwartungswert

Hallo ihr alle,

diesmal habe ich ein Problem mit einer Aufgabe, in der es um den Erwartungswert geht.
Folgendes ist gefragt:

"Cornflakespackungen einer bestimmten Marke enthalten jeweils eine von zehn verschiedenen Nikolausfiguren aus Plastik.
Wie viele Packungen müssen Sie im Schnitt kaufen, bis Sie einen kompletten Satz von zehn verschiedenen Nikoläusen gesammelt haben?
Die verschiedenen Nikoläuse sollen dabei mit gleicher Häufigkeit in den Packungen auftauchen."

Hat jemande eine Idee, wie ich das Berechenen kann?
Ich werde auch noch ein wenig weitergrübeln.

Danke schon mal, Lena

29.11.2004, 23:05

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RE: Erwartungswert
Idee:

X ... Anzahl Packungen bis zum ersten vollen Satz

Dann ist P(X>m) gleich der Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten m Packungen mindestens eine Figur fehlt.

A_j ... Ereignis, dass unter den ersten m Packungen die Figur j fehlt (j=1,...,n=10)

Dann kann man

$\begin{eqnarray*} P(X>m) = P(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n) \end{eqnarray*}$

mit Hilfe der Einschluss-Ausschluss-Formel berechnen.

Der Erwartungswert von X sollte dann auch nicht mehr das Problem sein...

Für eine kürzere Lösung frag mal Leopold, der hat dafür ein "Auge". Big Laugh

30.11.2004, 00:27

Leopold

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RE: Erwartungswert

Zitat:

Original von Arthur Dent
Für eine kürzere Lösung frag mal Leopold, der hat dafür ein "Auge". Big Laugh

... oder er schaut in einem Buch nach, wo die entsprechende Aufgabe gelöst wird. Augenzwinkern

Man definiert für $\begin{eqnarray*} i=1,...,10 \end{eqnarray*}$ die folgenden Zufallsvariablen:

$\begin{eqnarray*} X_i = \mbox{Zahl der bis zum i-ten verschiedenen Nikolaus erforderlichen Packungen} \end{eqnarray*}$

Mit dem Zusatz $\begin{eqnarray*} X_0 = 0 \end{eqnarray*}$ sei

$\begin{eqnarray*} Y_i = X_i – X_{i-1} \end{eqnarray*}$

Es ist also

$\begin{eqnarray*} Y_i = \mbox{Wartezeit vom (i-1)-ten zum i-ten verschiedenen Nikolaus} \end{eqnarray*}$

Wenn man schon $\begin{eqnarray*} i-1 \end{eqnarray*}$ verschiedene Nikoläuse hat, so ist bei jeder folgenden Packung die Wahrscheinlichkeit, einen neuen zu erhalten,

$\begin{eqnarray*} p_i = \frac{10-(i-1)}{10} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ sind geometrisch verteilt zum Parameter $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ . Somit gilt

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}Y_i = \frac{1}{p_i} = \frac{10}{10-(i-1)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist

$\begin{eqnarray*} X_{10} = Y_1 + Y_2 + ... + Y_{10} \end{eqnarray*}$

30.11.2004, 11:34

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RE: Erwartungswert
@Leopold

Auf dich kann man sich wirklich immer verlassen. Freude

Bei mir lief's auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} {n\choose k}\frac{n}{k} \end{eqnarray*}$

(n=10), also einer wesentlich komplizierteren Darstellung deines Ergebnisses hinaus.

In unserem "Duell" ( Augenzwinkern

) steht's mindestens schon 3:0 für dich. Und dabei habe ich mir immer eingebildet, Ahnung von Stochastik zu haben. Das Gespür für einfache Lösungswege scheint mir aber irgendwie abhanden gekommen zu sein...

02.12.2004, 14:19

Gast

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Danke ihr beiden!!!

Ihr habt mir sehr geholfen und ich glaube, ich habe das mit dem Erwartungswert nun auch richtig verstanden :-)

Viele Grüße
Lena

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