Lagrange'sches Interpolationspolynom |
| 30.11.2004, 15:46 | matheverwirrte... | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lagrange'sches Interpolationspolynom kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Seien zi für i=1,2,...,n Begründe, dass (( für i ungleich j )) pj(z)= ((Produktzeichen) (z-zi)) / ((Produktzeichen) (zj-zi)) das eindeutig bestimmte Polynom vom Grade n mit der Eigenschaft pj(zi) = 1, i=j bzw. 0, i ungleich j ist. Dass das Polynom die Eigenschaft hat, habe ich ja schon begründet. Meiner Meinung nach hat es aber den Grad n-1. Stimmt das? Wenn nicht, wie komme ich auf den Grad n? Und wie kann man begründen, dass es das eindeutige Polynom ist? |
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| 30.11.2004, 15:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
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| 30.11.2004, 16:02 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Lagrange'sches Interpolationspolynom Hallo matheverwirrte...! Durch n Stützstellen mit den zugehörigen Werten gibt es genau ein Polynom (n-1)-ten Grades. Beispiele: Eine Gerade ist durch 2 Punkte bestimmte, ein Polynom 2. Grades der Form y(x) = a*x^2 + b*x + c durch 3 Punkte. Eindeutigkeitsbeweis: Sei p ein Interpolationspolynom vom Grad n durch (n+1) Stützstellen. Sei jetzt q ein zweites Polynom, das ebenfalls durch die Stützstellen geht. Dann hätte das Polynom p-q (Grad n!) (n+1) Nullstellen. Das ist nur möglich, wenn p-q das Nullpolynom ist, denn ein Polynom n-ten Grades <> Nullpolynom hat höchstens n Nullstellen. Weil p-q das Nullpolynom ist folgt p = q. Die Existenz des Interpolationspolynoms muss natürlich auch bewiesen werden, was aber nicht Inhalt deiner Frage ist. Gruss yeti Edit: Ich habe gerade gesehen, dass ein zweiter Thread über LAGRANGE-Polynome läuft mit kompetenten Leuten. Schau unter "Polynome - Lagrange'sch" nach! yeti |
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