Tangente am Kreis berechnen

01.12.2004, 12:19

datAnke

Tangente am Kreis berechnen

hallo ich hab mal wieder ein kleines problem

aufgabe:
ein kreis $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = 25 \end{eqnarray*}$
und ein punkt S(-1 / 7)
bestimme die gleichung der tangente die durch S geht
bestimme den berührungspunkt P

also ich hab da was raus das passt auch, nur das geht bestimmt wiedermal ganz anders eigentlich verwirrt

m ist die steigung der tangente x, y sind die koordinaten des berühungspuntes
$\begin{eqnarray*} m=-\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

wenn ich die beiden punkte S und P betrachte ist
$\begin{eqnarray*} m=\frac{7-y}{-1-x} \end{eqnarray*}$

gleichsetzen auflösen

$\begin{eqnarray*} x^{2} +y^{2} =7y+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 25 =7y+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 25-7y=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (25-7y)^{2} + y^{2} =25 \end{eqnarray*}$

aufgelöst nach y und dann x berechnet
macht zwei berühungungspunkte
1. P(-4 / 3) $\begin{eqnarray*} y=\frac{4}{3} x+\frac{25}{3} \end{eqnarray*}$
2. Q(3 / 4) $\begin{eqnarray*} y=-\frac{3}{4} x+\frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

hmm und wie muss man das eigentlich wirklich rechnen verwirrt

danke
anke

01.12.2004, 13:14

klarsoweit

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RE: Tangente am Kreis berechnen
zeichne am besten mal ein Koordinatensystem mit dem Kreis und dem Punkt S(-1 / 7). Dann hast du Anhaltspunkte, wie die Lösung aussehen muß.
Die Geradengleichung der Tangente ist allgemein: y = m*x + b
Die geht durch den Punkt S und berührt den Kreis mit der Formel:
$\begin{eqnarray*} k(x) = \pm \sqrt{25 - x^2} \end{eqnarray*}$
Im Berührpunkt P = (xp / yp) ist die Steigung gleich groß wie die Steigung der Tangente (= m).
Also gilt für den Punkt P: k'(xp) = m (xp ist die x-Koordinate von P)
Zusätzlich liegt P auch auf der Tangente, muß also die Geradengleichung der Tangente erfüllen.
Findest du aus diesen Hinweisen den Ansatz?

02.12.2004, 14:10

datAnke

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RE: Tangente am Kreis berechnen
hallo
danke erstmal
nur weiter hilft mir das auch nicht.
gerechnet hab ich das ja alles auch über die bezeihungen die du erwähnt hast, ich hab ja die lösung auch raus und mit einer konstruktion überprüft, ich wollte nur wissen wie der lehrer das gerne möchte bestimmt mal wieder nicht so wie ich das gemacht habe

danke
anke

02.12.2004, 14:48

kikira

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RE: Tangente am Kreis berechnen
Bei uns in den Schulen muss man das folgendermaßen berechnen:

Jede Tangente steht im rechten Winkel auf den Mittelpunkt.
Daher muss gelten: Vektor ST * VektorMT = 0

T = Berührpunkt
M = Mittelpunkt des Kreises

Wenn die Multiplikation 2-er Vektoren 0 ergibt, dann steht der eine Vektor im rechten Winkel auf den anderen.

T kennt man nicht. Daher kenn ich von T die x-Koordinate nicht, und auch die y-Koordinate nicht.
Das sind also 2 Unbekannte, daher braucht man auch 2 Gleichungen.

Die 1. Gleichung ist die Kreisgleichung, denn der Punkt T liegt ja auf dem Kreis.
Die 2. Gleichung ist: Vektor ST * Vektor MT = 0

Vektor ST = (x + 1 / y - 7)
Vektor MT = (x / y)

Die zwei multipliziert ergeben:
x² + x + y² - 7y = 0

dann anordnen:
x² + y² + x - 7y = 0
und dann die Kreisgleichung drunter schreiben:
x² + y² = 25

Dann mal ( -1) damit x² und y² wegfallen beim Addieren:

x - 7y = 25
x = 25 - 7y

und das nun zurückeinsetzen in eine von den beiden GLeichungen:

(25 - 7y)² + y² = 25

Auflösen und dann kriegst die Berührpunkte raus und kannst somit den Richtungsvektor, oder die Steigung oder den Normalvektor der Tangenten berechnen...

lg kiki

03.12.2004, 09:04

klarsoweit

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RE: Tangente am Kreis berechnen
Man kann es auch mit der Ableitung rechnen. Das geht wie folgt:

Die Steigung m der Tangente im Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_p / y_p) \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} m = \frac{y_p - 7}{x_p + 1} \end{eqnarray*}$
Die Ableitung der Kreisfunktion im Punkt P ist:
$\begin{eqnarray*} k'(x_p) = \frac{-x_p}{\sqrt{25 - {x_p}^2}} = m \end{eqnarray*}$
Wir setzen m ein und verwenden zur Vereinfachung x statt xp und y statt yp:
$\begin{eqnarray*} \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}} = \frac{y - 7}{x + 1} \end{eqnarray*}$
Multiplikation mit x + 1 ergibt:
$\begin{eqnarray*} y - 7 = \frac{-x * (x + 1)}{\sqrt{25 - x^2}} \end{eqnarray*}$ bzw.:
$\begin{eqnarray*} y - 7 = \frac{-x^2 - x}{\sqrt{25 - x^2}} \end{eqnarray*}$

Nun werden zwei Fälle unterschieden:
Fall 1: x >= 0, dann folgt aus x² + y² = 25: $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{25 - y^2} \end{eqnarray*}$
Das eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} y - 7 = \frac{y^2 - 25 - \sqrt{25 - y^2}}{y} \end{eqnarray*}$

Fall 2: x < 0, dann folgt aus x² + y² = 25: $\begin{eqnarray*} x = - \sqrt{25 - y^2} \end{eqnarray*}$
Das eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} y - 7 = \frac{y^2 - 25 + \sqrt{25 - y^2}}{y} \end{eqnarray*}$

Das Lösen dieser Gleichungen ist kein Drama. Man erhält im Fall 1 x=3 und y=4 und im Fall 2 x=-4 und y=3.

29.05.2012, 06:13

itus

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RE: Tangente am Kreis berechnen
$\begin{eqnarray*} 25^{2} - 25*7y - 25*7y + 49*y^{2} = 25 <=> 625 - 175y - 175y + 49*y^{2} = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \sqrt{y^{2} } = \sqrt{12,244897959183673469387755102041} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> y = 3,499271061118825 \end{eqnarray*}$
Ist jetzt der errechnete y-Wert der Berührungspunkt am Kreis?

29.05.2012, 06:38

itus

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RE: Tangente am Kreis berechnen
Korrektur:

$\begin{eqnarray*} 25^{2} - 25*7y - 25*7y + 49*y^{2} + y^{2} = 25 <=> 625 - 175y - 175y + 49*y^{2} + y^{2} = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \sqrt{y^{2} + y^{2} } = \sqrt{12,244897959183673469387755102041} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> y = \sqrt{12,244897959183673469387755102041 } / \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> y = 2,474358296526967 \end{eqnarray*}$

Was ist y hier? Der y-wert des Berührungspunktes?

29.05.2012, 15:06

mYthos

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@itus

Was denn sonst? Das wäre zu bemerken gewesen, wenn du den Thread genauer verfogt hättest.

Deine Nachkommastellen-Orgie ist fehl am Platz und für die Bewältigung der Aufgabe überhaupt nicht essentiell. Besser ist es, sinnvoll (!) zu runden und sich auf den Kern der Frage zu beschränken!

Überdies sind deine Lösungen falsch und der Thread bereits 7 1/2 Jahre (!) alt.

mY+

29.05.2012, 16:07

Mystic

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Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, warum da alle möglichen anderen Vorschläge kommen - z.T. aufwändiger oder sogar falsch - statt einfach die Lösung von datAnke zu kommentieren bzw. zu verbessern... verwirrt

Es ist ja richtig, was sie sagt, dass die Tangente einerseits senkrecht auf den OP stehen muss, wenn P(x,y) der Berührpunkt ist, also dann $\begin{eqnarray*} m=-\frac xy \end{eqnarray*}$ beträgt, andererseits sich aber als als die Steigung der Gerade durch P und S berechnet, also auch

$\begin{eqnarray*} m= \frac {7-y}{-1-x} \end{eqnarray*}$

ist... Bei der Umformung von

$\begin{eqnarray*} -\frac xy=\frac {7-y}{-1-x} \end{eqnarray*}$

hat sie sich dann aber verrechnet, denn das ergibt

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=7y-x \end{eqnarray*}$

und daher weiter

$\begin{eqnarray*} x= 7y-25 \quad (*) \end{eqnarray*}$

Die Auflösung der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} (7y-25)^2+y^2=25 \end{eqnarray*}$

führt dann noch auf die richtigen Werte

$\begin{eqnarray*} y_1= 3, y_2=4 \end{eqnarray*}$

ihre x-Werte wären danach aber falsch, würde sie ihre eigenen Gleichungen benützen, anscheinend tut sie das aber nicht, sondern verwendet fertige Lösungen von wo anders her... Unter Benützung von (*) kommt aber tatsächlich und ohne "Schummeln" auf die Werte

$\begin{eqnarray*} x_1= -4, x_2=3 \end{eqnarray*}$

Es gibt sicher noch andere Wege, um zu dieser Lösung zu kommen (beispielsweise könnte man auch den gegebenen Kreis einfach mit dem Thaleskreis mit OS als Durchmesser schneiden, um zu den Berührpunkten zu kommen), aber keiner ist m.E. wesentlich schneller oder besser...

Edit: Leider bin ich jetzt auch darauf reingefallen, dass das ein Uraltthread ist unglücklich

Ich lass das aber trotzdem mal stehen, denn vielleicht nützt das irgendjemanden, z.B. itus ... Big Laugh

02.06.2012, 08:17

itus

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$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{y} = \frac{7-y}{-1-x} <=> x^{2} + y^{2} = 7y - x \end{eqnarray*}$

wegen

$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{y} = \frac{a - y}{b - x} <=> -1 = \frac{b - y}{a - x} * \frac{y}{x} <=> - 1 =(by - y^{2}) \frac{1}{ax - x^{2}} <=> -ax + x^{2} = by - y^{2} <=> x^{2} + y^{2} = by + ax \end{eqnarray*}$

02.06.2012, 09:00

Mystic

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Was du da machst, ist extrem umständlich und außerdem noch falsch(!), weshalb ich das jetzt nicht unwidersprochen lassen kann... Wenn man sowas hat wie

$\begin{eqnarray*} -\frac xy=\frac {a-y}{b-x} \end{eqnarray*}$

dann "schmeisst" man zuerst das Minus auf der linken Seite zum Zähler dazu, also

$\begin{eqnarray*} \frac {-x}y=\frac {a-y}{b-x} \end{eqnarray*}$

und wendet dein eine Prozedur an, die im Fachjargon "Kreuzweises ausmultiplizieren" genannt wird, d.h., man multiplziert den Zähler des linken Terms mit dem Nenner des rechten Terms und setzt das gleich dem Produkt aus dem Zähler des rechten Terms mit dem Nenner des linken, also dann

$\begin{eqnarray*} (-x)(b-x)=(a-y)y \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen, und schon steht das (richtige!) Endergebnis

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=ay+bx \end{eqnarray*}$

dann da... Augenzwinkern

02.06.2012, 13:01

itus

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Zitat:

Original von itus
...

wegen

$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{y} = \frac{a - y}{b - x} <=> -1 = \frac{b - y}{a - x} * \frac{y}{x} <=> - 1 =(by - y^{2}) \frac{1}{ax - x^{2}} <=> -ax + x^{2} = by - y^{2} <=> x^{2} + y^{2} = by + ax \end{eqnarray*}$

Korrektur (wegen a, b Vertauschung in den ersten zwei Zeilen oben)

...
wegen

$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{y} = \frac{b - y}{a - x} <=> -1 = \frac{b - y}{a - x} * \frac{y}{x} <=> - 1 =(by - y^{2}) \frac{1}{ax - x^{2}} <=> -ax + x^{2} = by - y^{2} <=> x^{2} + y^{2} = by + ax \end{eqnarray*}$

Was ist eigentlich wenn der Kreis nicht am Nullpunkt anliegt sondern irgendwo liegt?
Also der Kreis die Form hat (x - k1)^2 + (y - k2 )^2 = r^2 mit k1, k2 aus R

02.06.2012, 13:32

Mystic

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Irgendwie scheinst du ja vernarrt in deinen Lösungsweg zu sein, obwohl ich dir oben vorgezeigt habe, wie 's der Profi machen würde, was du aber vollständig ignorierst... geschockt

Naja, jedem das Seine... Big Laugh

Zitat:

Original von itus
Was ist eigentlich wenn der Kreis nicht am Nullpunkt anliegt sondern irgendwo liegt?
Also der Kreis die Form hat (x - k1)^2 + (y - k2 )^2 = r^2 mit k1, k2 aus R

Ganz einfach: Verschiebung des Koordinatenursprungs nach (k1,k2), Lösung der Aufgabe im neuen Koordinatensystem und dann Rückverschiebung... Big Laugh

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