Tangentialebene

19.04.2007, 17:20

Bujashaka

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Tangentialebene

Ich habe eine Fläche f(x,y) und soll im Punkt P(x,y,z) die Tangentialebene bestimmen. Ich bilde erstmal df/dx & df/dy und dann?

Ich weiss leider nicht, welche Formel ich benutzen kann. Ich habe ja eine Fläche mit den Koordinaten xy gegeben, aber einen Punkt mit xyz. Für eine Tangentialebene von f(xyz) in P(xyz) oder f(xy) in P(xy) hätte ich jeweils eine Formel verwirrt

verwirrt

19.04.2007, 17:29

derkoch

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$\begin{eqnarray*} z-z_o= f_x(x_o;y_o)\cdot(x-x_o)+f_y(x_o;y_o)\cdot(y-y_o) \end{eqnarray*}$

19.04.2007, 17:37

Bujashaka

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$\begin{eqnarray*} z=f_x(x_o;y_o)\cdot(x-x_o)+f_y(x_o;y_o)\cdot(y-y_o)+z_0 \end{eqnarray*}$

"wobei $\begin{eqnarray*} z_0=f(x_0;y_0) \end{eqnarray*}$ "... Hört sich aber für mich etwas komisch an! Steht so in meinem Buch als Def. und wird sofort wieder in einem Beispiel widerrufen.

19.04.2007, 18:16

derkoch

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Ich weiß nicht wo das Problem liegt? Du hast doch alles gegeben!

$\begin{eqnarray*} z_o \qquad \end{eqnarray*}$ ist die z-Koordinate deines Punktes! Der Rest ist doch nur zusammenbateln!

21.04.2007, 09:30

Bujashaka

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Gab nur ein kleines Verständnisproblem. Die Aussagen in meinem Buch haben sich gegenseitig widerrufen. Nun stehe ich aber vor einer weitaus schwierigeren Aufgabe...

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= sin(x^2+y^2) und P(\sqrt{\frac{\pi}{2}} ,\sqrt{\frac{\pi}{2}} ,sin(\pi)) \end{eqnarray*}$

Ich soll die Tangentialebene von f(x,y) in P bilden und den/die Schnittpunkt(e) mit der Ebene $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Tangentialebene:

$\begin{eqnarray*} z=2x\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cos(\pi)-2\pi \cos(\pi)+2y\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cos(\pi)+\sin(\pi) \end{eqnarray*}$

Um den Schnittpunkt zu erhalten dachte ich mir, ich setze das nun einfach mit der Ebene gleich, also gleich 0. Aber ich erhalte dann 0=0. Also war es nicht der richtige Ansatz.

21.04.2007, 10:40

riwe

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als "ahnungslooser anfänger" in dieser materie äußere ich einmal eine vermutung:

tangentialebene
$\begin{eqnarray*} E: z = 2\pi-\sqrt{2\pi}(x+y) \end{eqnarray*}$

schnittgerade mit z = 0:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2\pi} \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

werner

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21.04.2007, 12:44

Bujashaka

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Nee, das sieht mir nicht wirklich hilfreich aus unglücklich

unglücklich

21.04.2007, 12:47

derkoch

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Deine Tangentialebene sieht mir nicht geheuer aus! verwirrt

verwirrt

21.04.2007, 13:19

Bujashaka

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Könnte mir jemand die richtige posten? Habe meine nach dem Schema (s.o) erstellt.

21.04.2007, 13:22

riwe

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hallo koch, ich bin ja ahnungslooser, betonung auf looser,
oder doch mehr auf ahnung verwirrt

verwirrt

.
auf jeden fall ahnungslos unglücklich

unglücklich

aber wie schaut den deine tangentialebene aus. verwirrt

verwirrt

ich will es ja lernen, vor allem meinen fehler finden
ich habe als normalenvektor in P fabriziert

$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} a \\ a \\ 1 \end{pmatrix} \quad{ }\text{mit}\quad{ }a=\sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$

aber ich weiß:
werner dachte, gott lachte geschockt

geschockt

werner

21.04.2007, 13:31

derkoch

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Hallo werner,
ich habe als Tangentialebene:

$\begin{eqnarray*} z= 2x\cdot cos(x^2+y^2)\cdot(x-x_o)+2y\cdot cos(x^2+y^2)(\cdot(y-y_o) \end{eqnarray*}$

mit den Werten eingesetz:

$\begin{eqnarray*} z= -2x\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}}- 2y\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}}=( -2\sqrt{\frac{\pi}{2}})(x+y) \end{eqnarray*}$

Kann sein, daß ich mich beim Einsetzen irgendwo verzettelt habe? verwirrt

verwirrt

Aber ich bin mir sicher, daß es stimmt!
Werde nachher nochmal rüberschauen.

21.04.2007, 13:34

riwe

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das wäre identisch bis auf den faktor $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

schau bitte du, ich bin faul und dumm
werner

21.04.2007, 13:38

derkoch

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von wernerrin
das wäre identisch bis auf den faktor $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

schau bitte du, ich bin faul und dumm
werner

Ich meinte, daß die Tangetialebene von Bujashaka mir nicht geheuer ist, nicht deine, die habe ich gar nicht durchgeschaut, da ich davon ausgehe, daß da nix schiefgelaufen ist! smile

smile

! Da bewegten wir und wohl auf falsche Ebenen! smile

smile

Big Laugh

21.04.2007, 13:58

Bujashaka

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Ok, habe das soweit eigentlich verstanden, doch eins fehlt mir zu meinem Glück:

Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} z-z_o= f_x(x_o;y_o)\cdot(x-x_o)+f_y(x_o;y_o)\cdot(y-y_o) \end{eqnarray*}$

Wo ist denn das $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ hin? In der Lösung vom Koch kommt es nicht mehr drin vor, obwohl es ja im Punkt P angegeben ist. Ist das ein Fehler oder gibt es dafür einen logischen Grund smile

smile

Freude

Trotzdem schon mal DANKE

21.04.2007, 14:02

riwe

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@hallo koch
war ja auch wirklich so gemeint wie geschrieben,
ich will es lernen.
möchte auf meinen grabstein meißeln lassen:
"er hat es doch noch kapiert"
wird aber schwer werden.

aber ich glaube nun mehr an meine version, denn bei dir liegt P nicht in E, oder verwirrt

verwirrt

ich freue mich schon, dass anscheinend der normalenvektor richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

werner

21.04.2007, 19:06

derkoch

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Zitat:

Original von wernerrin
@hallo koch
war ja auch wirklich so gemeint wie geschrieben,
ich will es lernen.
möchte auf meinen grabstein meißeln lassen:
"er hat es doch noch kapiert"
wird aber schwer werden.

aber ich glaube nun mehr an meine version, denn bei dir liegt P nicht in E, oder verwirrt

verwirrt

ich freue mich schon, dass anscheinend der normalenvektor richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

werner

@ werner,
tschuldigung, du hast recht!
Ich hatte beim Einsetzen rumgeschmiert und vergessen ne Klammer zu setzen bei mir aufm Zettel, daher sind die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ abhanden gekommen! Deine Gleichung ist richtig, habe es jetzt auch so raus, nachdem ich nochmal rüber geschaut habe!

Zitat:

Wo ist denn das $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ hin?

@Bujashaka
$\begin{eqnarray*} z_o= sin(\pi)= ?? \end{eqnarray*}$
beantwortet das deine Frage?

21.04.2007, 20:21

riwe

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@hallo koch,
danke dir schön,
da kann ich jetzt die nächsten hürden angehen unglücklich

unglücklich

nebenbei: ich habe das zeug über den gradienten gemauschelt, das scheint mir der einfachere weg, einen normalenvektor zu generieren,
aber wie gesagt, ist alles neu für mich

einen schönen sonntag
und nochmals dankeschön

werner

21.04.2007, 20:48

derkoch

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Hier nochmal den gesamten Rechenweg von mir:

$\begin{eqnarray*} f(x;y) = sin(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left ( \sqrt{{\frac{\pi}{2}}}/ \sqrt{{\frac{\pi}{2}}}/ sin(\pi)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_x= 2x\cdot cos(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y=2y\cdot cos(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} f_x(x;y)= -2\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y(x;y)= -2\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Tangentialebene:

$\begin{eqnarray*} z-z_o= f_x(x;y)\cdot(x-x_o)+f_y(x;y)\cdot(y-y_o) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z= -2\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left (x-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)+\left[-2\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left (y-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)\right] \end{eqnarray*}$

Das ganze dann aufgelöst.

21.04.2007, 21:10

riwe

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na dann male ich mein zeug auch her:
$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=f(x,y)-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla{g}=2x_0cos(x_0²+y_0²)\vec{i}+2y_0cos(x_0²+y_0²)\vec{j}-\vec{k} \end{eqnarray*}$

werte aus P einsetzen ergibt den normalenvektor in P, und mit dem rest kenne ich mich schon aus.
werner

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