Grenzwertbestimmung bei rekursiv definierten Folgen

02.12.2004, 17:08

oldwise

Grenzwertbestimmung bei rekursiv definierten Folgen

Wie kann ich bei dieser rekursiv definierten Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ den Grenzwert bestimmen?

$\begin{eqnarray*} a_{1}:=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:=\frac{a_{n}+2}{a_{n}+1} \end{eqnarray*}$

Bei normalen Folgen habe ich keine Probleme damit, aber hier dreh ich mich im Kreis.

Und noch eine Frage:

Mit welchem Trick kann ich zeigen, dass die Aussage $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~2^{-k} > 1 \end{eqnarray*}$ zu einem Widerspruch führt?

02.12.2004, 17:18

fehler123

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Du vermutest also, a_n ist konvergent. Dies besagt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = g \end{eqnarray*}$ . Nun kannst du statt a_n+1 und a_n g einsetzen und dann nach g auflösen. Dies wird dich auf 2 Lösungen bringen, eine Folge kann allerdings nur einen haben. Nun muss man noch argumentieren, welcher der richtige ist.
Der Trick hierbei ist also, dass man weis, dass die Folge konvergent ist. Zu deiner zweiten Frage kann ich dir nicht weiterhelfen.

02.12.2004, 17:25

Leopold

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RE: Grenzwertbestimmung bei rekursiv definierten Folgen

Zitat:

Original von oldwise

Mit welchem Trick kann ich zeigen, dass die Aussage $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~2^{-k} > 1 \end{eqnarray*}$ zu einem Widerspruch führt?

Du könntest einfach den Wert berechnen (endliche geometrische Summe) und zeigen, daß er stets kleiner 1 ist.

Es geht aber auch anschaulich:
Jeder Summand ist halb so groß wie die Differenz, die zur Zahl 1 gerade noch fehlt.

02.12.2004, 18:00

oldwise

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RE: Grenzwertbestimmung bei rekursiv definierten Folgen
ich danke euch!

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