differenzialgleichung 2. ordnung

02.12.2004, 18:02	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
differenzialgleichung 2. ordnung hallo. ich hab ein problem mit der DGL: $\begin{eqnarray} y''+ 4y'+ 3y = sin(e^x) \end{eqnarray}$ ich hab die homogene DGL gelöst: und komm auf $\begin{eqnarray} y_H = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x} \end{eqnarray}$ doch was nehm ich jetzt??? ein kleiner ansatz wäre gut. ich hab's mit variantion der konstanten versucht, aber das stimmt nicht mit der lösung im buch überein. das ist ein unheimliche rechnung... bitte um hilfe.
02.12.2004, 19:13	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir keiner helfen????
02.12.2004, 19:22	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: differenzialgleichung 2. ordnung Hallo folgensucher, wenn die partikuläre Lösung für die DGL nach deinen Buch folgende ist, kann ich dir helfen: $\begin{eqnarray} y=-e^{-2x} sin(e^{x})-e^{-3x} cos(e^{x}) \end{eqnarray}$ Habs mal eingesetzt und es passt nur weis ich nicht ob die Lösung dann komplett ist. (Da die trigonometrischen Funktionen sehr individuell umwandelbar sind kann die Lösung natürlich abweichen) Gruß Jan
02.12.2004, 20:15	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie kommt man darauf????
02.12.2004, 20:57	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die allgemeine patikuläre Lösung für eine gewöhnliche DGL erster Ordnung? Sie lautet: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}+R(x)y=Q(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=e^{-\int_{}^{}~R(x)~dx}\int_{}^{}~Q(x)e^{\int_{}^{}~R(x)~dx}~dx \end{eqnarray}$ Hier beschreibe ich in einem anderen Thread wie man auf die allgemeine Lösung kommt. klicken Man kann deine DGL mit Operatorzeichen umschreiben: y''+4y'+3y=Q(x) -> (D²+4D+3)y=Q(x) -> (D+1)(D+3)y=Q(x) (D+3)y=Q(x)/(D+1)=v(x) mit der allgemeinen Lösung gilt dann: $\begin{eqnarray} (D+3)y=v(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=e^{-\int_{}^{}~3~dx}\int_{}^{}~v(x)e^{\int_{}^{}~3~dx}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=e^{-3x}\int_{}^{}~v(x)e^{3x}~dx \end{eqnarray}$ jetzt gilt: Q(x)/(D+1)=v(x) ->(D+1)v(x)=Q(x) $\begin{eqnarray} (D+1)v=Q(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=e^{-\int_{}^{}~1~dx}\int_{}^{}~Q(x)e^{\int_{}^{}~1~dx}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=e^{-x}\int_{}^{}~Q(x)e^{x}~dx \end{eqnarray}$ die letzte Lösung setzt du in die erste ein un erhältst: $\begin{eqnarray} y=e^{-3x}\int_{}^{}~e^{-x}e^{3x}\int_{}^{}~Q(x)e^{x}~dx^2 \end{eqnarray}$ Du musst also das Integral: $\begin{eqnarray} y=e^{-3x}\int_{}^{}~e^{2x}\int_{}^{}~sin(e^{x})e^{x}~dx^2 \end{eqnarray}$ lösen. So bin ich zumindest drauf gekommen, wenn das mit deinem Buch übereinstimmt geht es ja. Gruß Jan
02.12.2004, 21:44	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
geht das auch mit variation der konstanten??
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