Zeigen das Funktion keine Extrema besitzt

19.04.2007, 19:57

niemand

Zeigen das Funktion keine Extrema besitzt

hallo
Ich möchte bei dieser funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x³+3x²+24x \end{eqnarray*}$ (ohne Ableitungen) zeigen, dass keine Extrema vorhanden sind.
Da ich also zeigen muss das $\begin{eqnarray*} f(x-1)<f(x) \end{eqnarray*}$ ist habe ich mir folgedes gedacht:
Da der Summand $\begin{eqnarray*} 3x² \end{eqnarray*}$ immer positiv ist must ich nur zeigen, dass die anderen beiden summanden (wenn x negativ ist) immer kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} -3x² \end{eqnarray*}$ sind.
$\begin{eqnarray*} x³ \geq 3x² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \geq -3 oder 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x²\geq 24x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \geq -8 oder 8 \end{eqnarray*}$

da der erste summand solange x < -3, kleiner als $\begin{eqnarray*} -3x² \end{eqnarray*}$ ist, aber der 3. summand solange x<-8, größer als $\begin{eqnarray*} -3x² \end{eqnarray*}$ ist.
also ist f(x) immer negativ wenn auch x negativ ist.
Leider ist mir erst später aufgefallen, dass damit nicht bewiesen habe, dass $\begin{eqnarray*} f(x-1)<f(x) \end{eqnarray*}$ .
Ich habe nur gezeigt, dass das f(x) durch (0\0) geht.

also bitte ich um hilfe Wink

19.04.2007, 20:15

vieta off

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Du gehst wenn ich das richtig sehe über die Monotonie von f, sprich du zeigst, dass f(x+h)>f(x) ,mit h gegen 0

in deinem konkreten Fall bedeutet dies für die streng monoton wachsende funktion von dir

$\begin{eqnarray*} (x+h)^3+3(x+h)^2+24(x+h)>x^3+3x^2+24x \end{eqnarray*}$

wenn du zeigst, dass diese ungleichung gilt, dann kannst du sicherlich auch sagen, was für AUswirkungen dies für deine Extrema hat

20.04.2007, 09:33

klarsoweit

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RE: Zeigen das Funktion keine Extrema besitzt

Zitat:

Original von niemand
Da ich also zeigen muss das $\begin{eqnarray*} f(x-1)<f(x) \end{eqnarray*}$ ist ...

Wie kommst du auf die Idee, daß man sowas zeigen muß? verwirrt

Selbst wenn das gelten würde, kann zwischen x-1 und x alles mögliche passieren. Wenn du die Monotonie von f nachweisen willst, mußt du zeigen, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} x < y \Rightarrow f(x) < f(y) \end{eqnarray*}$

Eine Idee wäre dies:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+3x^2+24x = (x+1)^3+21x-1 \end{eqnarray*}$

Damit ist also die Funktion f eine Zusammensetzung von monoton steigenden Funktionen.

EDIT: und hier eine Funktion, für die f(x-1) < f(x) gilt, die aber Extremwerte hat:

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