Rotationsvolumen

19.04.2007, 21:43	lilja	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsvolumen hallo ! ich brauche wieder eure hilfe Aufgabe: Volumenberechnung das zwischen dem Kreis $\begin{eqnarray} x^{2} + y^{2} = 16 \end{eqnarray}$ und der Parabel $\begin{eqnarray} y =\frac{1}{6} x^{3} \end{eqnarray}$ gelegene Flächenstückerzeugt bei Drehung um die y-Achse einen Rotationskörper. Berechnen Sie das Rotationsvolumen V! meine Recnung: $\begin{eqnarray} Kreis: x^{2} + y^{2} = 16 => y=\sqrt{(16-x^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => F(x1)=\pi[16x-\frac{1}{3}x^3] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Parabel : y =\frac{1}{6} x^{3} =>F(x2)=\frac{1}{18}x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Volumen = [F(x1)-F(x2)]_{0}^4 => V=130,49 \end{eqnarray*}$ ist es richtig/ falsch? danke
19.04.2007, 22:31	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal hast du leider zweimal falsch integriert, wenn ich das richtig sehe. Außerdem berechnet sich das Volumen eines Rotationskörpers, der durch zwei Funktionen gegeben ist durch $\begin{eqnarray} V= \pi \int \limits^{b}_{a} f^2(x) - g^2(x)dx \end{eqnarray}$ /EDIT: evtl musst du auchnoch Schnittpunkte der Funktionen bestimmen, da sonst bei der Flächenberechnung was schiefgehen könnte. Und vorsicht beim Wurzelziehen! /EDIT2: Funktion berichtig! Und Bjoern hat natürlich Recht Hab ich mich zu früh gefreut
20.04.2007, 14:51	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Dunkit Was du beschreibst ist eine Rotation um die x-Achse. Hier geht es aber um eine Rotation um die y-Achse. Ich bevorzuge dafür immer die substituierte Variante, die nichts mehr mit Umkehrfunktionen am Hut hat siehe hier http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsvolumen Desweiteren stimmt der rote Graph auch nicht so ganz, da der Faktor ja 1/6 und nicht 7/6 ist. Nach Liljas Stammfunktion zu urteilen regt sich bei mir auch der Vedacht, dass er bzw sie sich verschrieben hat und eigentlich eine quadratische Funktion meint....aber das ist nur eine Vermutung Zur Bestimmung der Schnittstellen setzt man die Parabelgleichung in die Kreisgleichung ein und löst nach x auf. Gruß Björn

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