Quadrate der Fibonacci Zahlen

02.12.2004, 21:12	w17rb	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrate der Fibonacci Zahlen Hi! Kann mir jemand mit folgender Aufgabe weiterhelfen? Ich soll per Induktion beweisen, dass für die Summe der ersten n Quadrate der Fibonacci-Zahlen dies gilt: F1^2+F2^2+F3^2+...+Fn^2=FnFn+1 F1:=1 F2:=1 F3:=2 F4:=3 F5:=5 ... Ich hab dann so angefangen: Induktionsanfang: n=1 1^2=11 1=1 Induktionsschluss: n=n+1 F1^2+F2^2+F3^2+...+Fn^2+Fn+1(oder muss es hier Fn+1^2 heißen?)=Fn+1Fn+2 nach Annahmne ist das also: FnFn+1+Fn+1=Fn+1*Fn+2 tja und da verlässt mich das ganze dann leider auch schon... liebe grüße Anna
03.12.2004, 12:50	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadrate der Fibonacci Zahlen Für die Fibonacci-Zahlen gilt: $\begin{eqnarray} a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}a_k^2=\left(\sum_{k=1}^na_k^2\right)+a_{n+1}^2=a_na_{n+1}+a_{n+1}^2=... \end{eqnarray}$
03.12.2004, 15:13	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, ich glaube, da ist das hier gemeint: $\begin{eqnarray} a_n = \sum_{k=0}^n~F_k^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_0 = 1; F_1 = 1; F_k = F_{k-1} + F_{k-2} \end{eqnarray}$ Und man (oder frau) muss zeigen, dass sich das a_n dann auch so berechnen lässt: $\begin{eqnarray} a_n = F_n \cdot F_{n+1} \end{eqnarray}$ (Gleichung (3)) Induktionsanfnag wäre dann z. B. so: $\begin{eqnarray} a_1 = F_0^2 + F_1^2 = ... = F_1 \cdot F_2 \end{eqnarray}$ (ich hab' einfach in (3) für n=1 eingesetzt) Das "..." musst Du noch ausfüllen und zeigen, dass das "=" gilt. Und der Induktionsschluss: $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_n + F_{n+1}^2 = ... = F_{n+1} \cdot F_{n+2} \end{eqnarray}$ Da muss auch das "..." noch ausgerechnet werden. (da hab' ich in (3) für n=n+1 eingesetzt. Die Kenntnis über a_n darf man hier verwenden. D. h. Du kannst a_n mit (3) ersetzen.) Versuch das noch mal so. Wenn Du nicht weiter kommst, melde Dich noch mal! hih rad238
03.12.2004, 19:57	w17rb	Auf diesen Beitrag antworten »
hi! ja, das ist das richtige, aber ein bißchen was verwirrt mich, in meiner aufgabe ist folgendes gegeben: F1:=1 F2:=1 F3:=2 F4:=3 F5:=5 ... sprich wenn ich das richtig vestehe, spiel die 0 bei mir keine Rolle. aber hab das trotzdem mal gerechnet, wäre das so dann richtig?: a1=F0^2+F1^2 =1^2^1^2=F2-1+F2-2 =1+1=F1+F0 =2=2 Was mich ein wenig irritiert ist das k. In meiner Aufgabenstellung taucht das nämlich gar nicht auf, da ist der laufindex ebenfalls mit n bezeichnet. du schreibst in deinem induktionsschluss dann ja an+1=an+Fn+1^2=.... (wieso taucht da dann anstelle des k das n auf bei Fn+1^2?) Könnte mein Induktionsschluss dann nicht folgendermaßen lauten? (ohne die 0) Induktionsschluss: n=n+1 F1^2+F2^2+F3^2+...+Fn^2+Fn+1^2=Fn+1Fn+2 Für F1^2+F2^2+F3^2+...+Fn^2 setze ich dann FnFn+1 ein (gezeigt durch Induktionsanfang) das ist dann doch: FnFn+1+Fn+1=Fn+1Fn+2 oder nicht? ich hab für n einfach mal 3 eingesetzt und damit kommt das auch hin, aber ich weiß nicht, wie ich das ganze jetzt als formel so umformen kann, dass es allgemeingültig gezeigt ist, irgendwie ist mir nicht so ganz klar, was ich alles zusammen rechnen darf oder nicht. oder ist das eh alles falsch was ich gerechnet hab? liebe grüße Anna
06.12.2004, 09:44	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon ganz gut, mit dem Induktionsschluss bist Du fast fertig! Du hast nur bei dem $\begin{eqnarray} F_{n+1}^2 \end{eqnarray}$ das ² (Quadrat) vergessen. Dann steht da auf der linken Seite also: $\begin{eqnarray} F_n \cdot F_{n+1} + F_{n+1}^2 \end{eqnarray}$ Hier kann man $\begin{eqnarray} F_{n+1} \end{eqnarray}$ ausklammern und erhält: $\begin{eqnarray} (F_n + F_{n+1}) \cdot F_{n+1} \end{eqnarray}$ Der erste Faktor ist wieder eine Fibonacci-Zahl: $\begin{eqnarray} (F_n + F_{n+1}) = F_{n+2} \end{eqnarray}$ Damit gilt also: $\begin{eqnarray} (F_n + F_{n+1}) \cdot F_{n+1} = F_{n+2} \cdot F_{n+1} \end{eqnarray}$ Fertig!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »