Ketten und Produktregel

02.12.2004, 20:14

aerus

Ketten und Produktregel

Ich habe hier eine Aufgabe, bin mir aber nicht scher, ob ich sie richtig löse:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2e^{-(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ Davon muss ich die erste Ableitung bilden.

$\begin{eqnarray*} v = - (1-x)^2 => - (1-2x+x^2) => -1+2x-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = -2x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = x^2e^v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = 2xe^{-x^2+2x-1} \end{eqnarray*}$
Jetzt v'*u'

$\begin{eqnarray*} -2x+2 * 2xe^{(-x^2+2x-1)} \end{eqnarray*}$
Ist das richtig so?

02.12.2004, 20:16

iammrvip

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RE: Ketten und Produktregel
ein tipp für TeX. du musst einfach ein {} klammer um das setzen, was in die potenz soll. also hier:

Zitat:

LaTeX code:
f(x)=x^2e^{-(1-x)^2}

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2e^{-(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

du machst es nach produktregel:

$\begin{eqnarray*} u = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = e^{-(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

wobei du aber v nach kettenregel ableiten musst. Augenzwinkern

jetzt alles klar?? verwirrt

02.12.2004, 20:17

Leopold

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Du kannst deinen LATEX-Code verbessern. Benütze den EDIT-Button zum Editieren deines Beitrags.

Schreibe die Exponenten in geschweifte Klammern { ... }. Dann werden sie auch richtig angezeigt.

02.12.2004, 20:25

aerus

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ne ist nicht ganz klar unglücklich

02.12.2004, 20:42

iammrvip

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du hast doch das produkt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \cdot e^{-(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

also sind hier:

$\begin{eqnarray*} u = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = e^{-(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt musst du einfach u und v ableiten. denn die produktregel lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'v + uv' \end{eqnarray*}$

dabei musst du aber aufpassen, dass v eine verkettete funktion ist.

02.12.2004, 20:43

aerus

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das heißt:

u`* v + u * v`

wobei v' nach der Kettenregel geht

$\begin{eqnarray*} 2x*e^{-(1-x)^2}+x^2*(-2x+2*e^{-(1-x)^2}) \end{eqnarray*}$

oder ist das auch falsch?

02.12.2004, 20:47

kikira

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Also:

Produktregel musst du anwenden, sobald ein Malzeichen steht und links vom Malzeichen irgendwo ein x ist und rechts vom Malzeichen irgendwo ein x ist.

Kettenregel brauchst du dann, sobald x in einer Klammer steht und die Klammer eine Hochzahl hat.

Quotientenregel brauchst du dann, wenn im Zähler irgendwo ein x steht und im Nenner irgendwo ein x steht.

Bei dir steht nun:

f(x) = x² * e^[-(1 - x)²]

daher: x * x

das was links vom Mal steht, bezeichnet man mit u, das was rechts davon steht mit v.

die Produktregel geht dann folgendermaßen:

vu' + uv'

u' = 2x
v' = -2*(1 - x) * (-1) * e^[-(1 - x)²]
v' = ( 2 - 2x) * e^[-(1 - x)²]

dann setzt ein in die Produktregel und dann noch vereinfachen und umformen und dann hast es.

lg kiki

02.12.2004, 20:49

iammrvip

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du musst bloß noch " $\begin{eqnarray*} 2x - 2 \end{eqnarray*}$ " einklammern, dann stimmt's Augenzwinkern

. und vorzeichen noch drehn. du hast doch $\begin{eqnarray*} -(1-x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2xe^{-(1-x)^2} + x^2\left((2x-2)e^{-(1-x)^2}\right) \end{eqnarray*}$

du kannst noch $\begin{eqnarray*} -2xe^{-(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ ausklammern und in der klammer zusammenfassen, dann sieht's super aus Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -2xe^{-(1-x)^2}(x^2 - x - 1) \end{eqnarray*}$

02.12.2004, 20:50

kikira

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e hat eine eigene Ableitung und die geht so:

f(x) = e^(x² - x)

f'(x) = alles abschreiben und dann mal der abgeleiteten Hochzahl

f'(x) = e^(x² - x) * (2x - 1)
f'(x) = (2x - 1) * e^(x² - x)

alles klar nun?

lg kiki

02.12.2004, 20:53

aerus

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das ist ja alles sooooo kompliziert.... Big Laugh

aber ungefähr verstehe ich es, Danke euch

02.12.2004, 21:06

iammrvip

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kompliziert ist was anderes Big Laugh

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