Induktion für ganze Zahlen

02.12.2004, 21:56

Moeki

Induktion für ganze Zahlen

In einer Gruppe (G;.) soll die Gültigkeit folgender Potenzgesetze bewiesen werden.

$\begin{eqnarray*} \Large a^{g1} * a^{g2} = a^{g1+g2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Large (a^{g1})^{g2} = a^{g1*g2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Large a^g * b^g = (a*b)^g \end{eqnarray*}$

g, g1, g2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Ganze Zahlen

Mir gelingt jeweils nur die Induktion für g als natürliche Zahl. Könntet ihr das bitte auf Korrektheit überprüfen?

IA g1 = 0 $\begin{eqnarray*} \Large a^0 * a^{g2} = a^{g2} * e = a^{g2} = a^{g2+0} \end{eqnarray*}$

IV g1 = k $\begin{eqnarray*} \Large a^k * a^{g2} = a^{k+g2} \end{eqnarray*}$

IBh g1 = k+1 $\begin{eqnarray*} \Large a^{k+1} * a^{g2} = a^{g2+k+1} \end{eqnarray*}$

IS $\begin{eqnarray*} \Large a^{g2} * a^{k+1} = a^{g2} * (a^k *a) = (a^{g2} * a^k) * a =IV a^{g2+k} * a = a^{g2+k+1} \end{eqnarray*}$

Die anderen spare ich mir mal, weil die sind ähnlich.

Wenn ich von g als Element der ganzen Zahlen ausgehe, muss ich dann die Induktionsbehauptungen g = k + 1 und g = k -1 aufstellen und beweisen oder wie mache ich das dann?

03.12.2004, 13:31

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Induktion in zwei Richtungen beweist, dann hast du nur bewiesen, dass die Formel für ausschließlich negative oder ausschließlich positive Zahlen gilt. Die intermediäre Form: g1 > 0 und g2 < 0 wird so nicht bewiesen.

Habt ihr die Potenz eigentlich definiert? Ich würde mal einen Definitionsversuch wagen:

$\begin{eqnarray*} (G, *) \text{ Gruppe}, \; g \in \mathbb{Z}, \; a \in G \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{g} := \underbrace{a * a * ... * a}_{g-\text{mal}} \quad g \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{g} := \underbrace{a^{-1} * a^{-1} * ... * a^{-1}}_{|g|-\text{mal}} \quad g < 0 \end{eqnarray*}$

Allgmein dann:

$\begin{eqnarray*} a^{g} := \underbrace{a^{\text{sgn}(g)} * ... * a^{\text{sgn}(g)}}_{|g|-\text{mal}} \end{eqnarray*}$

Damit ließe sich dann unter Verwendung des Assoziativgesetzes arbeiten.

03.12.2004, 19:35

Moeki

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \Large a^n \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist rekursiv durch $\begin{eqnarray*} \Large a^0 := e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^{a+1} := a^n * a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Large a^g \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} \Large a^g \end{eqnarray*}$ falls g $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , g $\begin{eqnarray*} \ge 1 \end{eqnarray*}$

e , falls g = 0

$\begin{eqnarray*} (a^{-g})^{-1} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} g < 0 \end{eqnarray*}$

definiert.

Hammer

04.12.2004, 14:50

Moeki

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich nochmal umgeguckt und erinnere mich grob an ein Tutorium:

Zitat:

Eine "Vorwärtsinduktion" schliesst von n = n+1, entsprechend eine Rückwärtsindktion von n = n-1. Auf diese Weise wird ganz Z erfasst.

Was nun?

06.12.2004, 19:17

Moeki

Auf diesen Beitrag antworten »

08.12.2004, 10:08

Ulf

Auf diesen Beitrag antworten »

Unsere Dozentin hat auch gesagt, dass man das so machen kann!
D.h. man beweist die Induktion für ganze Zahlen, indem man n=k+1 und n=k-1 beweist.

Hammer

08.12.2004, 14:24

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wenn du eine Formel hast: $\begin{eqnarray*} f(z) = xyz, \quad z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , dann lässt sich durch Vorwärts- und Rückwärtsinduktion beweisen.

Aber in deinem Fall hast du ja zwei Variablen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ in der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f_a(g_1, g_2) = a^{g_1} \cdot a^{g_2} \end{eqnarray*}$

Dann musst du es für alle $\begin{eqnarray*} (g_1, g_2) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ zeigen.

Versuch doch einfach, deine rekursive Definition ein paarmal einzusetzen.

Neue Frage »

Antworten »

Induktion für ganze Zahlen

Verwandte Themen