Linearität prüfen aber wie?

03.12.2004, 11:19

merlin25

Linearität prüfen aber wie?

Ich soll die folgenden Abbildungen

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{n} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

auf Linearität prüfen. Kann mir jemand dabei helfen?

1. $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{i=1}^n~x_i \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2_1 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} f(x)=kx_k \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} k\in \{ 1,...,n\} \end{eqnarray*}$

Die tiefgestellten Indices bei 2 und 3 bedeuten die das es Vektoren sind also 1 Komponente und k Komponente?

Die erste bekomme ich wohl noch hin aber die anderen beiden nicht traurig

03.12.2004, 11:25

klarsoweit

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RE: Linearität prüfen aber wie?
wo klemmst denn? Übrigens, die 2. Funktion ist nicht linear.

03.12.2004, 12:06

afirato

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Also damit eine Abbildung linear ist, muss sie 2 Kriterien erfüllen:

1) Additivität
2) Homogenität

1)
$\begin{eqnarray*} A_(x_) = \sum_{i=1}^n~x_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_(y_) = \sum_{i=1}^n~y_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(_x+ _y) = \sum_{i=1}^n~(x+y)_i \end{eqnarray*}$

Jetzt muss du nur noch beweisen dass: $\begin{eqnarray*} A(_x+ _y) = A_(x_) + A_(y_) \end{eqnarray*}$ ist.

2) Beim Homogenität muss du beweisen dass $\begin{eqnarray*} \lambda A_(x_) = A_(\lambda x_) \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn nur die beiden Punkte richtig sind dann ist die Abbildung linear.

03.12.2004, 12:33

merlin25

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Vielen Dank das mit der ersten Aufgabe ist mir klar. Also die Funktion ist linear.
Ich habe mit 2 und 3 Probleme denn ich kann mit den Funktionen nicht viel anfangen, was genau bedeuten denn jetzt diese tiefgestellten Indices? Und wie behandel ich dann die Funktion.

03.12.2004, 13:01

klarsoweit

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RE: Linearität prüfen aber wie?
Also x ist ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$
Die Komponenten des Vektors sind $\begin{eqnarray*} x_1 \text{, ..., }x_n \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} x = (x_1\text{;...;}x_n) \end{eqnarray*}$
In Aufgabe 2 ist $\begin{eqnarray*} f(x) = {x_1}^2 \end{eqnarray*}$
Nehmen wir mal n = 2 und x = (3; 1). Dann ist f(x) = 9

Jetzt zur Linearität, es muß gezeigt werden:
f(a*x) = a * f(x) wobei a eine konstante reelle Zahl ist.
Was erhältst du, wenn du f(a*x) mit der 2. Funktion berechnest?

03.12.2004, 13:34

merlin25

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Wenn ich den Vektor x mit einem Skalar in diesem Fall a multipliziere erhält man

$\begin{eqnarray*} f(a\cdot x)=(a\cdot x_1)^2 \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} a\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} a\cdot f(x)=a\cdot x^2_1 \end{eqnarray*}$

da das nicht gleich ist ist die Funktion also nicht linear oder?

Reicht das denn um zu beweisen das die Funktion nicht linear ist. Da sind doch immer zwei Bedingungen Hammer

ah wenn eine nicht stimmt brauch ich die andere nicht mehr zu prüfen...

und 3.

03.12.2004, 14:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von merlin25
da das nicht gleich ist ist die Funktion also nicht linear oder?

Reicht das denn um zu beweisen das die Funktion nicht linear ist. Da sind doch immer zwei Bedingungen Hammer

ah wenn eine nicht stimmt brauch ich die andere nicht mehr zu prüfen...

Also es gibt durchaus Situationen, wo a * x1² = a² * x1², z.B. a = 0 oder a = 1 oder x1 = 0. Für die Linearität muß das aber für alle a und x gelten. Am besten zeigt man mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass die Bedingung nicht erfüllt ist. Das reicht dann auch.

Aufgabe 3 ist fast genauso, nur diesmal ist die Funktion linear.
Rechne doch mal, was f(a *x) und was a * f(x) ist.

03.12.2004, 14:53

merlin25

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Ja jetzt ist es mir klar smile

Bei 3 ist das doch so oder...

$\begin{eqnarray*} f(a\cdot x)=k\cdot a\cdot x_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot f(x)=a\cdot k\cdot x_k \end{eqnarray*}$

bei 2 kann ich das Gegenbeispiel n=3 x=(3,2,2) a=2

$\begin{eqnarray*} f(a\cdot x)=(a\cdot x_1)^2=36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot f(x)=a\cdot x_1^2=18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 36\neq 18 \end{eqnarray*}$

Richtig?

03.12.2004, 15:01

Tobias

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Ja, das stimmt. Vergiss aber die Additivität nicht.

Man kann auch beides in einem Abwasch erledigen, indem man für Vektoren x, y und Skalar a zeigt:

$\begin{eqnarray*} f(ax + y) = af(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

03.12.2004, 15:11

merlin25

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Vielen Dank smile

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