Berechnung von e

03.12.2004, 12:39

ghostrider

Berechnung von e

Hi, hoffe mir kann einer bei ainer Hausaufgabe helfen, die auf Anhieb recht leicht aussieht, aber wohl schwerer zu sein scheint:
"Berechnen Sie e auf 6 Nachkommastellen genau - mit Beweis"

Hab leider bis jetzt nichtmal nen Ansatz :-(

03.12.2004, 12:59

iammrvip

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weißt du, wie man die euler'sche zahl berechnet??

tipp: es gibt zwei möglichkeiten

03.12.2004, 13:02

ghostrider

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problem
Das ist ja das Problem, ich weiss nicht wie ich die Zahl berechne. In der Schule damals gab es halt e als Potenz, zum Einsetzen, und jetzt in der Uni hab ich keine Idee wie ich da rangehen soll.

03.12.2004, 13:04

iammrvip

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wie gesagt, es gibt zwei möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} e := \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} e := \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} \end{eqnarray*}$

das dürfte dir schonmal helfen Augenzwinkern

03.12.2004, 13:23

Philipp-ER

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Wobei die 1. Möglichkeit hier absolut ungeeignet ist, da die Konvergenz erstens unendlich schlecht ist und man außerdem nicht einmal abschätzen kann, wie groß der Fehler denn ist.
Sagt dir "Restglied" etwas, ghostrider?

03.12.2004, 13:42

ghostrider

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ansatz
Ok, die beiden Formeln sind klar. Es geht jetzt also darum, als Grenzwert e zu erhalten, und genau zu berechnen.
Zuerst muss ich jedoch erstmal eine der beiden Formeln auf Konvergenz untersuchen, oder? Ich betrachte dazu nur die 2. Formel, da es ja hinreichend ist, die Konvergenz nur für eine der beiden Folgen zu beweisen.
Sei an die Reihe.
Wenn die Reihe also konvergiert, gilt
(an+1)/an < 1 (Quotientenkriterium)
=[1/(n+1)!]/1/(n!)
=(n!)/(n+1)!
Also erkennt man: (an+1)/an ist immer kleiner 1, darum konvergiert die Folge.

Ist das bis hierhin richtig (bzw. hinreichend) oder hab ich mal wieder totalen Schwachsinn gebaut? ;-)

Sorry Philipp, hatte deinen Post völlig übersehen. Hatte mir aber auch gedacht, dass das erste Beispiel schlecht ist, deswegen hab ich ja auch das zweite genommen. Und nein, Restglied sagt mir nichts, der Begriff ist noch nicht aufgetaucht.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! Danke. (MSS)

03.12.2004, 14:25

Mathespezialschüler

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RE: ansatz

Zitat:

Original von ghostrider
Wenn die Reihe also konvergiert, gilt
(an+1)/an < 1 (Quotientenkriterium)

Es muss nicht nur $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \end{eqnarray*}$ gelten!! Sondern du musst sogar eine Zahl $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}<q \end{eqnarray*}$ gilt! Und dann willst du natürlich eher die andere Richtung zeigen, also "wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}<q \end{eqnarray*}$ ist, dann konvergiert die Reihe" und nicht "wenn de Reihe konvergiert, dann gilt $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}<q \end{eqnarray*}$ ". Denn letzteres stimmt nicht einmal!!

03.12.2004, 14:25

Leopold

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Zunächst einmal hat Philipp-ER recht: Die Reihe ist zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ wesentlich besser geeignet als die Folge. Wenn du es dennoch lieber mit der Folge probieren willst, so kannst du es wie folgt anstellen.

Wir betrachten ein konstantes $\begin{eqnarray*} \alpha \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für die Folge der $\begin{eqnarray*} a_n \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+\alpha} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist streng monoton wachsend mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} 0 \leq \alpha < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \leq \alpha \leq 1 \end{eqnarray*}$

Du könntest nun einmal $\begin{eqnarray*} \alpha = 0,\!499 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} \alpha=0,\!5 \end{eqnarray*}$ wählen. Im ersten Fall ist jedes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ kleiner und im zweiten Fall größer als $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ . Und jetzt probierst du einfach in

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n_1} \right)^{n_1 + 0,\!499} < \ \operatorname{e} \ < \ \left( 1 + \frac{1}{n_2} \right)^{n_2 + 0,\!5} \end{eqnarray*}$

die Zahlen $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ so zu bestimmen, daß die linke und rechte Seite der Ungleichung in den ersten sechs Stellen nach dem Komma übereinstimmen.
Auf diese Art und Weise bekommst du eine a-posteriori-Abschätzung für $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ . Sie ist gewissermaßen naiv, da man davon ausgehen muß, daß der Taschenrechner in diesem kritischen Bereich numerisch korrekte Werte liefert.

03.12.2004, 15:03

eule

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Um zu beweisen das die Reihe zur berechnung von e geeignet ist mußt du zeigen das die Reihe _nach_ e konvergiert. Konvergenz allein sagt gar nichts aus.

03.12.2004, 15:43

ghostrider

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@Mathespezialschüler:
Du hast natürlich recht, was das an+1/an angeht, da brauch ich natürlich ein q<1, das war mir im eifer des gefechts wohl entfallen :-)
Und bei der Formulierung hab ich mich auch schlecht ausgedrückt, ich meinte auch das eine Reihe konvergiert, wenn das Q-Kriterium zutrifft, nicht umgekehrt. Die Aussage ist nicht äquivalent.

@Leopold:
Hab deine Beweisführung mal rekonstruiert und auch verstanden, aber wenn ich beliebige n einsetze, bei (1+1/n)^n+0,499, kommt ein Wert grösser e raus, anstelle kleiner als e.
z.B. n=1: (1+1/1)^1,499=2,826
n=2: (1,5)^2,499=2,754
Diese Folge ist aber auch monoton fallend!
Also mach ich hier etwas falsch oder gibts es einen Fehler in deiner Formulierung?

03.12.2004, 15:47

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Man könnte natürlich auch den Reihenrest grob abschätzen, etwa durch
$\begin{eqnarray*} 0 < \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} < \frac{1}{n!} \sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^j} =\frac{1}{n\cdot n!} \end{eqnarray*}$
und seinen "Beweis" der Richtigkeit der ersten 6 Stellen darauf aufbauen.

03.12.2004, 17:54

Leopold

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Zitat:

Original von ghostrider
@Leopold:
Hab deine Beweisführung mal rekonstruiert und auch verstanden, aber wenn ich beliebige n einsetze, bei (1+1/n)^n+0,499, kommt ein Wert grösser e raus, anstelle kleiner als e.
z.B. n=1: (1+1/1)^1,499=2,826
n=2: (1,5)^2,499=2,754
Diese Folge ist aber auch monoton fallend!
Also mach ich hier etwas falsch oder gibts es einen Fehler in deiner Formulierung?

Ich habe da wohl in meiner Erinnerung etwas falsch gekramt.
Im Moment vermute ich, daß die Aussage nur für genügend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt:

Für $\begin{eqnarray*} 0 \leq \alpha < 0,\!5 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ für hinreichend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend.

Für $\begin{eqnarray*} 0,5 \leq \alpha \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend.

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