Grenzwert von Folgen

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03.12.2004, 15:02	cassini	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Folgen Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen: Berechnen Sie den limes von $\begin{eqnarray} \sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{...}}}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{0}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n+1}:=\sqrt{3+2a_{n} } \end{eqnarray}$ , falls er existiert. Hängt der Grenzwert von der Wahl $\begin{eqnarray} a_{0} >0 \end{eqnarray}$ ab? Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Außerdem wüßte ich gern wie ich den lim sup und den lim inf beweisen kann. Gruß Cassini
03.12.2004, 15:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Grenzwert mit g bezeichnest, dann gilt: $\begin{eqnarray} g=\lim_{n\to \infty} a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} a_n \end{eqnarray}$ Setz das in die Rekursionsformel ein und berechne dann g!
03.12.2004, 15:12	cassini	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursionsformel???
03.12.2004, 15:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder Rekursionsgleichung, oder auch rekursive Darstellung: $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ g einsetzen und ausrechnen.
03.12.2004, 16:10	cassini	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, dass habe ich noch immer nicht ganz verstanden, wie ich das machen soll und was mir das hilft... Warum kann ich davon ausgehen, das der Grenzwert von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gleich dem Grenzwert von $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ ist?
03.12.2004, 17:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil das mehr oder weniger die gleichen Folgen sind!! Ab dem Index 2 kommen die Folgenglieder von a_(n+1) nämlich in der Folge a_n wieder. Es sind doch fast völlig identische Folgen.
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03.12.2004, 23:54	cassini	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, das habe ich schon mal verstanden. Danke!! Aber was das mit dem setzen von g soll, leider immer noch nicht. Dann würde ich ja da stehen haben: $\begin{eqnarray} g=\sqrt{3+2g} \end{eqnarray}$ , wenn ich wie Du vorgeschlagen hast für $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray*}$ g einsetze, oder? Mir ist noch nicht klar, was ich damit erreicht habe.
04.12.2004, 17:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hast jetzt richtig eingesetzt. g ist einfach der Grenzwert von $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{n+1}) \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt die Gleichung quadrierst und dann weiter umformst, kannst du sie nach g auflösen, also g ausrechnen! Dann hast du den Grenzwert. Aber bevor du das machen darfst, musst du erstmal beweisen, dass die Folge konvergiert. Das geht über Monotonie und Beschränktheit ...
05.12.2004, 20:28	cassini	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätte ich ja zwei Grenzwerte raus, nämlich -1 und 3, oder nicht? Wie funktioniert das dann?? Wie man die Beschränktheit eigentlich beweist ist mir klar, aber auch das finde ich in diesem Fall nicht so einleuchtend. Monoton ist $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ doch, wenn $\begin{eqnarray} a_n-a_{n+1}\leq oder\geq 0 \end{eqnarray}$ ist, oder? In diesem Fall würde das dann aussehen wie folgt: $\begin{eqnarray} \sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{} } } -\sqrt{3+2a_n} \leq oder\geq 0 \end{eqnarray}$ oder nicht? Wie soll ich das dann ausrechnen? Bei der Beschränktheit müsste ich dann zeigen, dass: $\begin{eqnarray} \sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{} } } \leq oder\geq dem Grenzwert \end{eqnarray}$ ?
05.12.2004, 21:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt schon. Du bekommst -1 und 3. Aber du musst daran denken, dass du ja eine Gleichung quadriert hast, da können Lösungen dazu kommen. Also Probe mit g=-1 und g=3 an der Gleichung $\begin{eqnarray} g=\sqrt{3+2\cdot g} \end{eqnarray}$ unbedingt machen!!! Bei der Beschränktheit musst du zeigen, dass es ein c aus R gibt mit $\begin{eqnarray} \|a_n\|\leq c\ \ \forall\ n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Bei der Monotonie musst du für monoton steigend $\begin{eqnarray} a_{n+1}\geq a_n \end{eqnarray}$ und für monoton fallend $\begin{eqnarray} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray}$ zeigen. Das kann man auf mehrere Arten machen, z.B. könnte man auch zeigen (falls alle $\begin{eqnarray} a_n>0 \end{eqnarray}$ sind), dass gilt $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1 \end{eqnarray}$ . Dann ist die Folge auch monoton steigend. Jetzt dazu, wie du es zeigst: Zeige durch vollständige Induktion, dass für alle Glieder $\begin{eqnarray} 0<a_n<3 \end{eqnarray}$ gilt. Damit hast du die Beschränktheit. Daraus folgt auch direkt die Monotonie: Löse einfach die Ungleichung $\begin{eqnarray} a_{n+1}\geq a_n \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} a_{n+1}>a_n \end{eqnarray}$ klappt auch) nach $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ auf. Die Aussage, die da rauskommen wird, hattest du dann schon bei der Beschränktheit bewiesen. Da aus $\begin{eqnarray} 0<a_0<3 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ monoton steigend und beschränkt ist (einfach alles übertragen), ist für diese $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ egal, wie sie gewählt werden. Für $\begin{eqnarray} a_0>3 \end{eqnarray}$ kannst du ähnlich zeigen, dass $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ beschränkt und monoton fallend ist. In allen Fällen darfst du die Berechnung von g so anwenden, wie wir es gemacht haben und der Grenzwert wird also immer 3 ...

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