Kugel

03.12.2004, 17:27

Gast

Kugel

Hi!

Ich hoffe mir kann jemand was zum Lösungsweg zur folgenden Aufgabe sagen:

Gegeben sind die Schargeraden

$\begin{eqnarray*} gc= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welche Schargeraden von gc berühren eine Kugel um M(2;-2;2) mit Radius 2. Berechne die Berührpunkte.

03.12.2004, 17:41

yeti777

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RE: Kugel
Hallo,

1. Zeichne ein xyz-Koordinatensystem.
2. Zeichne die Richtung der Schargeraden in der xy-Ebene ein
3. Zeichne den Mittelpunkt der Kugel ein
4. Skizziere die Kugel

Du kommst bestimmt auf die Idee zur Lösung smile

Gruss yeti

04.12.2004, 01:35

riwe

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RE: Kugel
du schneidest die gerade mit der kugel, das ergibt eine quadratische gleichung für l (lambda), da die gerade 2 punkte mit der kugel gemeinsam haben kann, weil die gerade aber tangente ist, muß der ausdruck unter der wurzel = 0 sein! setzte also die wurzel = 0 => quadratische gleichung für den parameter c( c1=0, c2=4), jetzt wieder die gerade in die kugel einsetzen, so erhälst du die zugehörigen werte von l(l=2, l=2/3) und aus der geradengl. die entsprechenden punkte.
rechnen mußt du selbst
werner

05.12.2004, 21:38

Gast

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Ich verstehe nicht ganz, wo ich die Wurzel = 0 setzten soll.
Also als Gleichung erhalte ich, wenn ich die Kugel mit der Geraden schneide:

$\begin{eqnarray*} (1 * \lambda - 2)^{2} + (-1 * \lambda + 2)^{2} + (c * \lambda - 2)^{2} = 4 \end{eqnarray*}$

Und wie gehe ich jetzt weiter vor um Werte für c zu bestimmen?

06.12.2004, 13:20

riwe

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Zitat:

Original von Gast
Ich verstehe nicht ganz, wo ich die Wurzel = 0 setzten soll.
Also als Gleichung erhalte ich, wenn ich die Kugel mit der Geraden schneide:

$\begin{eqnarray*} (1 * \lambda - 2)^{2} + (-1 * \lambda + 2)^{2} + (c * \lambda - 2)^{2} = 4 \end{eqnarray*}$

Und wie gehe ich jetzt weiter vor um Werte für c zu bestimmen?

löse halt auf:
$\begin{eqnarray*} A\lambda ^{2}+B\lambda + C =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1,2}= \frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4AC}}{2A} \end{eqnarray*}$
da hast du die wurzel, die = 0, da tangente!!!

$\begin{eqnarray*} B^{2}-4AC=0 \end{eqnarray*}$
ergibt eine quadraische gl. für c:
c(c-4) = 0, c1 = 0, c2 = 4
ok?
werner

06.12.2004, 13:26

mYthos

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Hi,

die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen. In der Lösung d. quadr. Gleichung

$\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

befindet sich der Wurzelausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt{b^2 - 4ac} \end{eqnarray*}$ , den Term $\begin{eqnarray*} b^2 - 4ac \end{eqnarray*}$ unter dieser Wurzel nennt man auch Diskriminante $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ . Wenn nur eine Lösung existieren soll, ist dies eine Doppellösung, und es muss gelten

$\begin{eqnarray*} \Delta = b^2 - 4ac = 0 \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} b^2 = 4ac \end{eqnarray*}$

Deine in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ quadr. Gleichung

$\begin{eqnarray*} (\lambda - 2)^2 + (- \lambda + 2)^2 + (c \lambda - 2)^2 = 4 \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} (2 + c^2) \lambda^2 - 4(c + 2) \lambda + 8 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist es zu c nicht mehr weit (zwei Lösungen), diese in die Geradengleichung einsetzen, liefert die Berührungspunkte der Kugeltangenten.

Gr
mYthos

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