Berechnung kürzeste Entfernung eines Punktes |
| 03.12.2004, 21:44 | pooower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Berechnung kürzeste Entfernung eines Punktes ich komm nicht auf den Lösungsansatz folgender Aufgabe: Gegeben ist die Funktion: f(x)= x^3 -3x^2 + 2x Bei x = 3 hat sie die Gerade y – 11x + 27 = 0 als Tangente und imPunkt (1; 0) einen Wendepunkt. Berechnen Sie kürzeste Entfernung des Punktes (4; 2) zur Kurve y² = 8x. Kann mir bitte jemand einen Ansatz für die Lösung mitteilen? Ich komm einfach nicht weiter... |
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| 03.12.2004, 22:13 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Berechnung kürzeste Entfernung eines Punktes Kurze Nachfrage: Was sollen diese Angaben
mit dieser (für sich allein) klar gestellten Aufgabe
zu tun haben ??? |
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| 04.12.2004, 09:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Berechnung kürzeste Entfernung eines Punktes
wenn die Aufgabe stimmt, ist folgendes zu tun: suche die Steigung m der Geraden g durch (4; 2), die senkrecht auf der Kurve y² = 8x steht. Zunächst ist y = sqrt(8x). Bilde davon die Ableitung und setze sie gleich der Steigung m der Geraden g. Zeichne am besten ein Bild. Schreib mal deinen Ansatz auf, dann sehen wir weiter. Anmerkung: der Fall y = - sqrt(8x) wird nicht betrachtet, da diese Kurve symmetrisch zur x-Achse aber unterhalb der x-Achse liegt und der Punkt (4; 2) sich oberhalb der x-Achse befindet. |
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| 04.12.2004, 15:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Berechnung kürzeste Entfernung eines Punktes Eine Alternative ist der "direkte Weg" (also ohne Tangenten-Betrachtungen): Es ist q(x,y)=(x-4)²+(y-2)² das Quadrat des Abstands des Punktes (4;2) von (x;y). Wenn wir nur Punkte (x,y) auf der Kurve y²=8x (also x=y²/8) betrachten, so entspricht die Originalaufgabe einer Minimierung von |
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| 11.12.2004, 23:15 | wuschel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
müsste es nicht q(x,y)=(4-x)²+(2-y)² heißen, Arthur Dent? denn der punkt P(4/2) liegt doch rechts neben dem funktionsgraphen. |
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| 12.12.2004, 01:04 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Ziel ist es x durch x(y) zu ersetzen! (y^2=x*8) Und (a-b)^2=(b-a)^2 Das was du geschrieben hast ist das gleiche wie das was Arthur geschrieben hat! Nur hat A.D. die nötigen Umformungen durchgeführt! Du hast eine Funktion y(x) und einen punkt (x_p,y_p)! Du willst den Abstand berechnen d(x,y) Einfach Pythagoräisches Dreieck anwenden! Da du dich nur für das minima von der Funktion d(x,y(x)) interessierst kannst die Wurzel weglassen, des wegen verschiebt sich das Minima nicht! Jetzt setzt für y die gegebene Funktion y(x) ein! jetzt musst nur noch eine Extremwertrechnung durchführen und dann bekommst das x heraus beidem der Abstand zu P minimal wird! Die Variante von AD ist eleganter!(Er ersetzt nicht y durch y(x) sondern x durch x(y), dadurch bekommt er keinen Wurzelausdruck in seinen Term, was prinzipiell angenehmer ist)! mfg mfg |
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