Modul

03.12.2004, 22:53

merlin25

Modul

Folgende Aufgabe bekomme ich nicht so richtig hin. Vieleicht reicht schon ein kleiner Anstoß.

Für die Moduln $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ (über dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ ) sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb Z_4\times \mathbb Z_4\Rightarrow \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=x_1+x_2 \end{eqnarray*}$ .

a Zeigen sie, dass f eine lineare Abbildung ist.

b Wieviele Elemente enthält ker f

c Ist f surjektiv?

Reicht bei c einfach eine Additionstabelle und wenn in dieser Tabelle alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ stehen ist f surjektiv?

verwirrt

03.12.2004, 23:01

carsten

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Wenn alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ mindestens einmal als Bild vorkommen, dann ist f surjektiv. Also wuerde eine solche Additionstabelle ausreichen.

Ist der Rest klar, oder gibts noch Fragen smile

?

Gruesse Carsten

04.12.2004, 12:31

merlin25

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Der Rest ist leider noch nicht klar. Kannst Du mir mal eine Starthilfe geben?

04.12.2004, 15:22

merlin25

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zu b habe ich mir jetzt mal ein paar Gedanken gemacht ist 12 Elemente richtig???

$\begin{eqnarray*} kerf:=(x_1,x_2)\in \mathbb Z_4\times \mathbb Z_4 | f(x_1,x_2)=0 \end{eqnarray*}$

Da es insgesamt 16 Elemente gibt und 4 wegfallen ist 12 doch OK oder?

04.12.2004, 16:18

Assal

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Moin merlin25!

Zu b): ker f beinhaltet alle Element x ¬ Z4 x Z4 für die gilt f (x) = 0
Also, Bed.: x1+x2 = 0

Mit Hilfe der Additionstabelle sieht man, dass es nur 4 Element sind...

Hast du eine Idee für c)?

Grüße, Assal

04.12.2004, 18:10

merlin25

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Bist Du sicher ich dachte das genau diese Elemente nicht enthalten sind??? Schau dir mal meine Definition an da sind alle Elemente die Du meinst nicht enthalten oder?

Kann sonst jemand was dazu sagen?

04.12.2004, 20:14

carsten

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Zitat:

Original von merlin25
zu b habe ich mir jetzt mal ein paar Gedanken gemacht ist 12 Elemente richtig???

$\begin{eqnarray*} kerf:=(x_1,x_2)\in \mathbb Z_4\times \mathbb Z_4 | f(x_1,x_2)=0 \end{eqnarray*}$

Da es insgesamt 16 Elemente gibt und 4 wegfallen ist 12 doch OK oder?

Dein Ansatz ist richtig. Genauso wie Assal's Beschreibung. Und es sind tatsaechlich 4 Elemente $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \in \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_4 \mbox{ fuer die } f(x_1,x_2)=0 \mbox{ gilt.} \end{eqnarray*}$

bei den restlichen 12 Elementen gilt $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Also enthaelt der Kern 4 Elemente.

Gruesse Carsten

04.12.2004, 21:58

merlin25

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Vielen Dank!!!
Kannst Du noch was zu a sagen Bitte?

Hilfe

05.12.2004, 11:59

merlin25

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Bei a kommt doch raus das f eine lineare Abbildung ist oder?

homogenität
$\begin{eqnarray*} \lambda (x_1+x_2)=\lambda x_1+\lambda x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda x_1+\lambda x_2=\lambda x_1+\lambda x_2 \end{eqnarray*}$

additivität
$\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+(x_2+y_2)=x_1+x_2+y_1+y_2 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Wenn ja DANKE für alles

05.12.2004, 21:16

carsten

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Hmmm, dass ist zumindestens das was du zeigen musst. Man sollte noch angeben warum das gilt. (kann man meist von den Eigenschaften des Ausgangsraumes ~ringes ableiten)

Gruesse Carsten

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