freie Systeme

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Assal Auf diesen Beitrag antworten »
freie Systeme
Hallöchen!

Bei der Aufgabe komme ich nicht so richtig voran, vor allem weil es mir noch an Definition fehlt...
was bedeutet eigentlich ein freies bzw. linear unabhängiges System?

Man untersuche, ob die folgenden Systeme von Vektoren frei sind:

(a) In ^2: v1 = (-1, 1); v2 = (2, 3).

(b) In ^2: v1 = (1, 1, 1); v2 = (0, 0, 1)
v3 = (1, 2, 1); v4 = (-1, 0, 2)

Danke
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RE: freie Systeme
Vektoren v1, ..., vn heißen linear unabhängig, wenn gilt:
Aus a1 * v1 + ... + an * vn = 0 folgt a1 = ... = an = 0

bei Aufgabe b) sind die Vektoren vermutlich aus R³
Assal Auf diesen Beitrag antworten »
RE: freie Systeme
Danke vielmals! Jetzt ist mir klar, was die Def. ist!

Zitat:
bei Aufgabe b) sind die Vektoren vermutlich aus R³


Ja, das dachte ich mir, sonst wären die Vektoren nicht richtig.
Könntest du mir auch verraten, was a ist?

Grüße, Assal
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RE: freie Systeme
die a1 ... an sind sogenannte Linearfaktoren, in diesem Fall aus R.
Assal Auf diesen Beitrag antworten »
RE: freie Systeme
O.K. Danke!

Könntest du mir auch eine Starthilfe geben?
Mit den Vektoren hatte ich seit 7 Jahren nicht mehr zu tun...
Und ich kenn sie nur mit Pfeile ;-(
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RE: freie Systeme
tja, das ist ein weites Feld. Von mir aus kann man sie sich als Pfeile im vorstellen. Die Pfeile zeigen in der Regel vom Koordinatenursprung auf den Ortspunkt, der durch die angegebenen Koordinaten bestimmt wird. Das sind dann die sogenannten Ortsvektoren. Mit Hilfe von Beispielen lernt man das am besten.
 
 
Assal Auf diesen Beitrag antworten »
RE: freie Systeme
Also entweder sitz ich momentan auf der Leitung oder ich weiss auch nicht...
koenntest du mir nicht anhand von einem Bsp das verdeutlichen, bitte?
Danke
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RE: freie Systeme
hmm, ich versuchs mal. Nehmen wir zwei Punkte in R²: A = (3; 2) und B = (1; 1). Diese Punkte kann man ins Koordinatensystem einzeichen. Dann kann man Pfeile vom Ursprung zu diesen Punkten zeichnen. Das wären dann die Ortsvektoren, ich nenne sie mal OA und OB. Obwohl dies jetzt Vektoren sind, ist die Schreibweise relativ gleich: OA = (3; 2) und OB = (1; 1). Nun, was bringt das jetzt? Wenn man jetzt vom Punkt A nach B laufen will, sprich: den Vektor AB betrachtet, dann ist das ein Pfeil vom Punkt A nach Punkt B. Der Vektor AB wird aus der Differenz der Ortsvektoren von A und B berechnet. Nämlich:
AB = OB - OA = (1; 1) - (3; 2) = (-2; -1)
Man muß also von A aus 2 Einheiten nach links und 1 Einheit nach unten laufen, um nach B zu kommen.
Betrachtet man nun diesen Vektor (-2; -1) vom Ursprung aus, dann landet man eben bei (-2; -1) aber nicht bei B. Wir merken also: gleiche Vektoren sind bildlich gesprochen also alle Pfeile mit gleicher Richtung und gleicher Länge.
Ab R^4 macht es nicht mehr soviel Sinn, mit Pfeilen und Richtungen zu arbeiten. Man redet einfach nur von Tupel (a1, ..., an) als Elemente vom R^n und definiert Regeln, wie man addiert und multipliziert.

Ich hoffe, das hilft etwas weiter.
Assal Auf diesen Beitrag antworten »
RE: freie Systeme
Danke, war sehr hilfreich!

Ich hab mal mit der (a) angefangen:

1 * + 2 * = 0

- 1 + 2 * 2 = 0
1 + 3 * 2 = 0

Das System in 2 mit v1 und v2 ist nur dann frei, wenn gilt:
1 und 2 = 0 sind.

Kommt es ungefähr hin?

Bei der (b) komm ich nicht richig weiter...

Ich hab raus, dass
1 = - 2 3

2 = 3 * 3

3 = - 4

Irgendwie bekomm ich keine richtigen Werte dafür raus...
Kannst du mir da weiter helfen?
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RE: freie Systeme
Zitat:
Original von Assal
Ich hab mal mit der (a) angefangen:

1 * + 2 * = 0

- 1 + 2 * 2 = 0
1 + 3 * 2 = 0

Das System in 2 mit v1 und v2 ist nur dann frei, wenn gilt:
1 und 2 = 0 sind.

Kommt es ungefähr hin?

aber nur ungefähr. Du mußt aus den letzten beiden Gleichungen die Lösungen für die alpha's bestimmen. Ich denke mal, du kannst Gleichungssysteme lösen.
Assal Auf diesen Beitrag antworten »
RE: freie Systeme
Also dann:

- 1 + 2 * 2 = 0
5 * 2 = 0

daraus folgt:
1 = 0
2 = 0


und bei (b)? kommt es so hin wie ichs angegangen bin, ich dreh mich nur im Kreis rum....

Kann ich da schreiben:?
Dieses System ist nicht frei, da sich unendlich viele Kombinationen finden lassen, für die die Gleichung gelten.
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RE: freie Systeme
bei b kannst zu zum Beispiel mal alpha4 = 1 wählen und die anderen ausrechnen. Du findest also alpha's, die nicht alle Null sind. Somit sind die Vektoren ....
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