Ungleichung

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20.04.2007, 16:08	Logarithmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Hallo, hab folgende Aufgabe und kann diese nicht lösen, vllt könnt ihr weiterhelfen: Bestimmen Sie alle n Element von N, für die gilt: $\begin{eqnarray} (3^{n}) \geq (n^{4}) \end{eqnarray}$ Ich habe schon alles mögliche probiert, Integrale, Logarithmen-Sätze, nichts hat gebracht. Vielen Dank
20.04.2007, 16:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte dich auf die richtige Fährte lotsen. Denk auch mal an Induktion. Gruß, therisen
20.04.2007, 16:26	Logarithmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung danke, aber wieso sollte ich hier Induktion machen? Wie soll ich dass erklären? "Laut meinem Schaubild ist folgende These zu überprüfen: n ist zwischen...."
20.04.2007, 16:35	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass sich diese Ungleichung nicht analytisch lösen lässt. Es sei denn, du kennst die (nicht sehr schöne) LambertW-Funktion.
20.04.2007, 16:36	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative: $\begin{eqnarray} f(x)=3^x-x^4 \end{eqnarray}$ Zu finden sind die Stellen $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} f(x)> 0 \end{eqnarray}$ Löst man das nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf erhällt man in Termen der LambertW-Funktion als reelle Lösungen lediglich $\begin{eqnarray} x_{1,2} = -\frac{4}{\ln(3)} \cdot \operatorname{LambertW}_{-1,1}\left(\frac{-\ln(3)}{4}\right) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x_3=-\frac{4}{\ln(3)} \cdot \operatorname{LambertW}\left(\frac{\ln(3)}{4}\right) \end{eqnarray}$ Die Werte dafür wären $\begin{eqnarray} x_1 &\approx& 1.516776412 \\ x_2 &\approx& 7.174755824 \\ x_3 &\approx& -.8022464316 \end{eqnarray}$ Wählt man jetzt $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \, \|\, 0 < n \leqslant \left\lfloor x_1 \right\rfloor \; \vee \; \, \left\lceil x_2\right\rceil \leqslant n \end{eqnarray}$ so hat man wegen der strengen Monotonie der LambertW, sowie den beiden einzigen rellwertigen Zweigen alle möglichen Lösungen erfasst.
20.04.2007, 16:45	Logarithmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Danke bis hierhin. Ich versuch mal die vollständige Induktion zu machen, hab aber einiges aus der schule vergessen, vllt könnt ihr mir weiterhelfen: $\begin{eqnarray} 3^{n+1} \geq (n+1)^{4} \end{eqnarray}$ und dann folgt daraus: $\begin{eqnarray} 3n^{4} \geq (n+1)^{4} \end{eqnarray}$ ?
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20.04.2007, 16:48	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 3^{n+1} = 3\cdot 3^n \stackrel { \text{I. V.}}{\geqslant}3n^4=n^4+n^4+n^4\stackrel { \text{dein Abschätzung ?}}{\geqslant}... \end{eqnarray}$
20.04.2007, 16:52	Logarithmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung $\begin{eqnarray} n^{4} +n^{4} +n^{4} \geq n^{4} \end{eqnarray}$ hmm und wie kann ich jetzt beweisen dass dies größer ist als (n+1)^4 ?
20.04.2007, 16:53	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, leider nicht gewonnen. Die Abschätzung ist zu grob und ehrlich gesagt auch zu plump. Wie wäre es denn mit Binomischen Formeln ?
20.04.2007, 16:56	Logarithmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung hmm meinst du (n+1)^4 = ((n+1)^2) ((n+1)^2)
20.04.2007, 16:59	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber du hast dein Ziel noch im Auge oder ? Das bringt dir rein garnichts. Du kennst aber schon den Binomischen Lehrsatz ? Damit kannst du $\begin{eqnarray} (n+1)^4 \end{eqnarray}$ komplett ausmultiplizieren. Das habe ich mit binomischen Formeln gemeint, ist ja nur eine Verallgemeinerung.

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