Lineares Gleichungssystem Aufgabe

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20.04.2007, 16:26	anja 589	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Aufgabe Hey! Schreib nächste Woche ne Klausur und bin grad am Lernen. Hab eine Aufgabe bei der ich einfach nicht weiter komme. Alpaka (Neusilber) ist eine Legierung aus Kupfer, Nickel und Zink. Aus den vier in der Tabelle angegebenen Sorten kann auf verschiedene Arten 100 g Alpaka mit einem Gehalt von 55% Kupfer, 23 % Nickel und 22 % Zink hergestellt werden. Bestimmen sie die Legierungen mit dem größten und dem kleinsten Anteil von Sorte IV. I II III IV Kupfer 40% 50% 60% 70% Nickel 26% 22% 25% 18% Zink 34% 28% 15% 12% Hoff, dass ihr mir helfen könnt. danke. lg anja
20.04.2007, 17:00	martin-w	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, kommt mir bekannt vor... lass mich raten, Lambacher Schweizer S. 220 Aber zur Aufgabe: Stelle erstmal ein Gleichungssystem auf mit den vier Unbekannten x1, x2, x3 und x4. Jede steht für den Anteil einer Sorte. Für jedes Metall eine Gleichung. Dann löse dieses System und schau was dir auffällt und überlege dir was du damit anfangen kannnst. Dann meldest du dich wieder wenns nicht klappt.
20.04.2007, 19:58	anja 589	Auf diesen Beitrag antworten »
hey! danke erstmal für die ersten Tips. Ich hab das gemacht und hab dann folgendes herausbekommen: 40x1 + 50x2 + 60x3 + 70x4 =55 290x2 + 720x3 + 950x4 = 495 7000x3 + 4000x4 =3000 Jetzt gibts aber ein nächstes Problem. Ich hab nur drei Gleichungen aber vier unbekante Variablen. Ich würde jetzt für x4 in der 3.Gleichung die Variable t einsetzen. Weiß aber net ob des geht und wie man dann weitermachen würde. Wäre nett wenn du mir nochmals helfen könntest. vielen dank lg anja
20.04.2007, 20:17	martin-w	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das, gib die Lösungsmenge mit Hilfe eines Parameters an. Die Frage ist ja dann, wo am meisten oder am wenigsten von IV vorkommt, für welche Lösung x4 also am kleinsten/größten ist. Da ja dann x4=t ist kommt es also darauf an t so klein oder so groß wie möglich zu bekommen. Theoretisch kann t ja jede reelle Zahl sein, aber überleg dir mal wie das in dieser Aufgabe mit negativen Zahlen ist, und was das für die Werte bedeutet, die t annehmen kann.
21.04.2007, 08:50	anja 589	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab x4= t in die letzte Gleichung eingesetzt um x3 herauszubekommen. Für x3 bekomm ich dann 3/7 - 4/7 t wenn ich dieses x3 aber dann in die oberen Gleichnungen einsetzte um x2 und x1 zu berechnen kommen die seltsamsten Werte raus. Ich brauch nachher doch x1, x2, x3 und x4 in Abhängigkeit von t - oder? Wenn ich diese Werte dann hätte, so seltsam sie auch sind, wie gehts dann weiter?
21.04.2007, 13:24	martin-w	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs jetzt nicht mehr nachgerechnet, aber hatte die Aufgabe vor ein paar Wochen mal gerechnet. Demnach ergibt das am Ende $\begin{eqnarray} (-\frac1{14}+\frac{10}7t; \frac9{14}-\frac{13}7t; \frac37-\frac47t; t) \end{eqnarray}$ So. jetzt ist ja die Frage nach möglichst kleinem/großem t. Prinzipiell ist ja jede reelle Zahl erlaubt, es gibt also garkeine Zahl die die kleinste/größte wäre. ABER: Versuch doch mal eine Legierung mit negativen Anteilen zu mischen. Das geht nicht. Also darf t nur so gewählt werden, dass x1, x2, x3 und x4 positiv sind. Also musst du für jede Variable eine Ungleichung aufstellen. für x1 sähe das so aus: $\begin{eqnarray} -\frac1{14}+\frac{10}7t \geq 0 \end{eqnarray}$ Das nach t auflösen und du hast schonmal eine erste einschränkung. Das machst du analog für x2, x3, x4 und dann ist t soweit eingeschränkt, dass nur ein kleiner Bereich in Frage kommt. Das obere und das untere Ende dieses Bereichs sind dann die gesuchten Werte.
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21.04.2007, 13:59	anja 589	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich hab das jetzt soweit herausbekommen, aber eine kleine Frage hab ich noch. (-: bei x1 kommt 5% heraus bei x2 34,61 % bei x3 75% --> das stimmt nicht oder? warum ist die 75% kein Ergbebnis sondern nur 5% und 34,61 ?
21.04.2007, 14:14	martin-w	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst auch auf das Größer/Kleiner-Zeichen achten. Es sollte dann da stehen $\begin{eqnarray} t\geq\frac1{20} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t\le\frac9{26} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t\le\frac34 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t\geq0 \end{eqnarray}$ t muss also größer als 0 sein. Das ist aber zweitrangig, da t sogar größer als 1/20 sein muss. Ebenso muss t kleiner als 3/4 sein. 9/26 ist aber noch kleiner, die 3/4 spielen also keine Rolle mehr. Zusammengefasst gilt also: $\begin{eqnarray} \frac1{20}\le t\le\frac9{26} \end{eqnarray}$ Hier hast du also den größtmöglichen und den kleinstmöglichen Wert für t.
21.04.2007, 14:48	anja 589	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann ist alles klar! Super! Vielen vielen dank!!!!! Hast mir echt riesig weitergeholfen! lg anja

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