Gegenseitige Lage

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20.04.2007, 16:31	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenseitige Lage Hallo, Gegeben sind die Geraden $\begin{eqnarray} g_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Untersuche ihre gegenseitige Lage. Mir ist klar wie das geht. Man sieht auf dem ersten Blick, dass die Geraden nicht parallel sind, von daher können sie auch nicht identisch sein. Nun möchte ich bestimmen ob sie Schnittpunkte besitzt oder windschief ist. Meine Frage ist: Gibt es ein anderes Verfahren, außer die Geraden gleichzusetzen um an die möglichen Schnittpunkte ranzukommen? Kann ich evtl. ohne die Geraden gleichzusetzen zeigen, dass sie windschief zueinander sind? Ich bedanke mich im voraus.
20.04.2007, 16:44	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilde den Verbindungsvektor beider Fußpunkte und prüfe diesen sowie die beiden Richtungsvektoren auf lineare Abhänigkeit. Sind sie lin.Ab. gibt es einen Schnittpunkt, falls nicht nicht.
20.04.2007, 16:46	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit zu überprüfen ist kein Problem. Aber woher bekomme ich denn die Fußpunkte?
20.04.2007, 16:49	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
möglicherweise die beiden runkte, zu denen du die stützvektoren wählst? wäre zumindest mal ein idee und viel bleibt nicht mehr übrig
20.04.2007, 16:50	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Fußpunkte = Stützvektoren Wären hier A(0,1,2) und B(7,7,0)
20.04.2007, 16:54	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
So der Verbindungsvektor der beiden Fußpunkte wären demnach $\begin{eqnarray} \vec{AB}= \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Mit welchem Vektor soll ich diesen Verbindungsvektor auf lineare Abhängigkeit überprüfen? Etwa mit einer der beiden Richtungsvektoren?
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20.04.2007, 16:55	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Beiden Richtungsvektoren. Anschaulich gesprochen bedeutet ja nicht windschief zu sein in einer Ebene zu liegen. Und genau das prüfst du nach. Evtl. hilft dir eine Skizze anzufertigen
20.04.2007, 16:57	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Verbindungsvektor ist nicht linear abhängig zu beiden Richtungsvektoren, also sind die Geraden windschief zueinander, richtig?
20.04.2007, 17:00	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden Geraden liegen nicht in einer Ebene, können sich folglich nicht schneiden.
20.04.2007, 18:10	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich habe es verstanden Danke Lazarus
20.04.2007, 18:16	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Evtl. noch eine Ergänzung dazu warum ich das mit der Ebene angesprochen habe. Stellt man sich diese Ebene als $\begin{eqnarray} x_1x_2 \end{eqnarray}$ -Ebene vor (also ein kartesisches Koordinatensystem welches man ja aus Ana kennt) so ist sofort einsichtig das sich die beiden Geraden schneiden müssen. Und als kleines Schmankerl: Treffen sich zwei Geraden am Schnittpunkt, sagt die eine zur anderen: "Also das nächste mal wenn wir uns treffen gibst du aber einen Aus"
20.04.2007, 18:22	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Gutes Beispiel Lazarus. Jetzt ist alles offensichtlich und klar Ich danke dir
23.04.2007, 17:44	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab Heute meinen Lehrer damit konfrontiert, dass man so nachweisen kann ob es einen Schnittpunkt gibt oder nicht. g1: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\vec{p_1}+t\cdot\vec{u} \end{eqnarray}$ und g2: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\vec{p_2}+t\cdot\vec{v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\cdot \vec{p_1p_2}= \vec{u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\cdot \vec{p_1p_2}= \vec{v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c\cdot \vec{u}= \vec{v} \end{eqnarray}$ Er hat mir allerdings bei der Überprüfung der Linearen Abhängigkeit der Verbindungsvektoren der Stützvektoren mit den Richtungsvektoren nicht zugestimmt bzw. er meinte mann müsste überprüfen ob es eine Zahl a und b gibt für die folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \vec{p_1p_2}=a\cdot \vec{u}+b\cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ , aber um dies nachzuweisen braucht man schon mehr Schreibarbeit womit es sinnvoller wäre die Geraden sofort gleichzusetzen. Meine Frage ist jetzt was stimmt an Lazarus Vorgang nicht . Zumal sie bisjetzt immer geklappt hat und ich hoffe Lazarus ich hab dich überhaupt richtig verstanden Danke an alle die mir weiterhelfen können.
23.04.2007, 18:06	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Geraden $\begin{eqnarray} G_1 \, : \;\vec{X} &=& \vec{P_1} + \lambda \cdot \vec{u} \\G_2 \, : \;\vec{X} &=& \vec{P_2} + \mu \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ schneiden sich genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \operatorname{det}\left(\overrightarrow{P_1P_2}; \, \vec{v} ; \, \vec{u} \right)=0 \quad \Leftrightarrow \; G_1 \cap G_2 \neq \emptyset \end{eqnarray}$ Er hat genau das bestätigt, allerdings komischerweise nicht daran gedacht, das Lineare Abhänigkeit über die Determinante im Kopf lösbar ist... Deine Formulierung ist nicht ganz richtig (=falsch) Sie beschreibt vielmehr das zwei Geraden identisch sind, da die zwei Richtungsvektoren linear abhängig sind und ein "Schnittpunkt" vorliegt.
23.04.2007, 20:00	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir Lazarus

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