Abstand

04.12.2004, 23:49	MK	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Hallo! Mit der Hesse Form kann ich ja den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen. Als Abstand kann eine positive oder eine negative Zahl herauskommen. Was sagt mir das über die Lage des Punktes bezüglich der Ebene (bzw. des Ursprungs)? Im voraus schon mal vielen Dank.
05.12.2004, 07:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ebene teilt den Raum in zwei Halbräume $\begin{eqnarray} H_1, H_2 \end{eqnarray}$ und die Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ selbst auf. Zwei Punkte liegen genau dann im selben der drei Teile, wenn sie, ihre Koordinaten in die Normalenform eingesetzt, dasselbe Signum (Vorzeichen) haben. Für diese Untersuchung braucht man nicht einmal die Hessesche Normalenform, jede andere Normalenform der Gestalt $\begin{eqnarray} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + c = 0 \end{eqnarray}$ tut es auch. Bei der Hesseschen Normalenform gibt der Betrag aber zusätzlich den Abstand eines Punktes zur Ebene an. Beispiel: $\begin{eqnarray} E: \ \ 3x_1 - 4x_2 + 2 x_3 + 4 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(1\|1\|1), \, B(-2\|1\|1), \, C(0\|3\|2), \, D(2\|2\|-1), \, O(0\|0\|0) \end{eqnarray}$ Für A: 3·1 - 4·1 + 2·1 + 4 = 5 -> Signum +1 Für B: 3·(-2) - 4·1 + 2·1 + 4 = -2 -> Signum -1 Für C: 3·0 - 4·3 + 2·2 + 4 = -4 -> Signum -1 Für D: 3·2 - 4·2 + 2·(-1) + 4 = 0 -> Signum 0 Für O: 3·0 - 4·0 + 2·0 + 4 = 4 -> Signum +1 A und O liegen im selben Halbraum, B und C im anderen Halbraum, D liegt auf E.
05.12.2004, 16:39	MK	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich daran denn auch erkennen, ob 1. der Punkt oberhalb oder unterhalb der Ebene liegt 2. der Punkt zwischen Ursprung und Ebene liegt oder 3. der Punkt auf der anderen Seite des Ursprungs liegt. D.h. erst kommt der Punkt, dann der Ursprung und dann die Ebene ???
05.12.2004, 17:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2. und 3. Ganz einfach: Du setzt den Ursprung ein, dann siehst du, ob der Term ein negatives oder positives Vorzeichen liefert. Punkte, die in demjenigen Halbraum liegen, der den Ursprung enthält, haben dann dasselbe Vorzeichen wie das, das beim Ursprung herauskam. Punkte auf der anderen Seite haben das umgekehrte Vorzeichen. Genau so habe ich es übrigens in dem Beispiel oben gemacht. Lies das noch einmal genau durch. In vielen Formelsammlungen wird das furchtbar umständlich erklärt. Aber es geht wirklich so einfach, wie ich es oben ausgeführt habe. Zu 1. "Oben" und "unten" sind keine Begriffe im dreidimensionalen euklidischen Raum.
05.12.2004, 20:56	MK	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab jetzt mal ein Beispiel. Kannsz Du mir sagen, ob ich dass hier richtig hab. Also gegeben ist die Hesse Form: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \vec{x} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - 6 = 0 \end{eqnarray*}$ Für den Punkt (0,5; 1; -1) ergibt sich als Abstand d=-4,5. Bedeutet das, dass der Punkt zwischen Ursprung und Ebene liegt, weil der Abstand zum Ursprung noch größer ist und Ursprung und Punkt aufgrund des gleichen Vorzeichens im selben Halbraum liegen? Für den Punkt P (3;6;-6) ergibt sich als Abstand zur Ebene 3. Bedeutet das, dass der Ursprung und der Punkt P in verschieden Halbräumen (also nicht auf der gleichen Seite der Ebene) liegen, weil sie unterschiedliche Vorzeichen haben?
05.12.2004, 21:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. Ich habe nur ein kleines Problem mit dem Wort "zwischen". Was soll es bedeuten, daß der Punkt Q(0,5\|1\|-1) "zwischen" Ursprung und Ebene liegt? Das klingt ein bißchen so, als würde Q auf der Lotstrecke, die man von O aus auf die Ebene fällt, liegen. Wenn du "zwischen" aber in dem Sinne verstehst, daß man, wenn man auf der Geraden OQ auf kürzestem Weg auf die Ebene "herunterrutscht", man dabei an Q vorbeikommt, dann stimmt auch das.
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