Affiner Unterraum

04.12.2004, 23:54

sdauth

Affiner Unterraum

Hallo!

Ich komm mal wieder bei einem Beispiel nicht weiter unglücklich

Seien $\begin{eqnarray*} x,y,z \in \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Zeige, dass die Menge $\begin{eqnarray*} A:= \{ ax+by+cz \mid a+b+c=1 \} \end{eqnarray*}$ ein affiner Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^5 \end{eqnarray*}$ ist und bestimme seine Dimension.

Ich hab leider überhaupt keine Idee wie ich das angehen könnte. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

05.12.2004, 10:28

Leopold

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Die affinen Unterräume des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V(=\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ sind gerade die

$\begin{eqnarray*} p+U, \text{ wobei } p \in V \text{ und } U \text{ Unterraum von }V \end{eqnarray*}$

Es sind also die Elemente des Quotientenraumes $\begin{eqnarray*} ^V/_U \end{eqnarray*}$ . Der Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist hierbei eindeutig bestimmt (er besteht gerade aus den Differenzen der Elemente von $\begin{eqnarray*} p+U \end{eqnarray*}$ ), nicht jedoch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kann durch jedes Element $\begin{eqnarray*} p'=p+u \end{eqnarray*}$ mit beliebigem $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ ersetzt werden.

Wenn du also nachweisen willst, daß

$\begin{eqnarray*} A = \{ ax+by+cz \ | \ a+b+c=1 \} \end{eqnarray*}$

ein affiner Unterraum ist, mußt du eine solche Darstellung

$\begin{eqnarray*} A = p+U \end{eqnarray*}$

finden.

Tip: Ersetze links $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c=1-a-b \end{eqnarray*}$ . Indem du die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Glieder und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Glieder zusammenfaßt, findest du

$\begin{eqnarray*} U = \langle \; x-z \; , \; y-z \; \rangle \end{eqnarray*}$ (damit meine ich den von $\begin{eqnarray*} x-z, \; y-z \end{eqnarray*}$ aufgespannten Unterraum).

Anschaulich sind die affinen Unterräume gerade die Gebilde, die man aus den Unterräumen durch Parallelverschiebung erhält. So kannst du dir im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ einen zweidimensionalen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als eine Ebene, die durch den Ursprung geht, vorstellen. Die affinen Unterräume sind dann alle zu dieser Ursprungsebene parallelen Ebenen, und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt der Ebene $\begin{eqnarray*} p+U \end{eqnarray*}$ .

Im konkreten Fall ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zweidimensional, also eine Ursprungsebene, die im 5-dimensionalen Raum liegt, und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes als die zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ parallele Ebene, die durch die drei Punkte $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ geht.

05.12.2004, 19:47

sdauth

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Hallo!

danke für die ausführliche erklärung, sogar mit grafik, aber ich glaub ich habs trotzdem nicht verstanden.

ich muss irgendeinen teilraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ finden, nehm daraus ein element, addiere dieses element mit einem beliebigen element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ und bekomme auf die art und weise einen affinen teilraum?
das kanns doch nicht sein.

05.12.2004, 21:53

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Tip: Ersetze links $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c=1-a-b \end{eqnarray*}$ . Indem du die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Glieder und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Glieder zusammenfaßt, findest du

$\begin{eqnarray*} U = \langle \; x-z \; , \; y-z \; \rangle \end{eqnarray*}$ (damit meine ich den von $\begin{eqnarray*} x-z, \; y-z \end{eqnarray*}$ aufgespannten Unterraum).

Mach das doch einmal.

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