Vektorraum R^n - Niveaumengen

20.04.2007, 19:25	leeroy jenkins	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum R^n - Niveaumengen Grüßt euch, ich hab irgendwie schwierigkeiten den Begriff Niveaumengen aufzufassen. Ich gebe kurz die Definition aus meinem Lehrbuch wieder und stelle dann ein paar Verständnisfragen, ob ich die Definition richtig interpretiere: - Als erstes kommt ein kurzer Vergleich zu den Höhenlinien auf Landkarten. Ich glaube aber das genau dieser für zu viel Verwirrung bei mir sorgt. http://img78.imageshack.us/img78/7047/isohypsenas3.jpg Betrachten wir das ganze im R² die Koordinaten nennen wir mal einfach x,y. So ist jede Höhenlinie eine Teilmenge von R² mit einem bestimmten Wert c aus R der die Höhe dieser Menge angibt. - Wir haben also erstmal nur Scheiben über Scheiben mit einer bestimmten Höhe und es wäre eine Extrapolation aus diesen Treppen einen echten "Berg" mit Steigungsunterschieden zu machen. - Das macht ein Wanderer normal im Kopf aber, aber wir müssen ja nicht jedes mal den Berg zum Propheten bringen, oder? Dieses Beispiel und die Definition passen meiner Erachtung nicht zusammen. Diese Höhenlinien auf Landkarten sind ein mathematisch völlig anderes Modell, oder? $\begin{eqnarray} \mbox{Definition: Sei } f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \mbox{ eine Funktion von }n \mbox{ Variablen und } c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox {Die Menge: } N_c(f) := \{ (x_1,...,x_n) \in \mathbb R^n ~ \| ~ f(x_1,...,x_n)=c \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox {heißt dann: } \underline{ \mbox{Niveaumenge der Funktion } f \mbox { zum Niveau } c } \mbox{.} \end{eqnarray}$ Hier mal wie ich das in der Praxis sehe: Beispielsweise eine Sinusfunktion mit 2 Argumenten: (Nur 1-Bild pro msg)* $\begin{eqnarray} f(x,y) := sin(x) + sin(y) \end{eqnarray}$ Hier ist doch die Niveaumenge, einfach jeder Funktionswert von f(x,y). Mehr ist das doch gar nicht, oder? Oder falls wir eine Ebene im R³ haben sind alle Punkte (ich fasse das mal so naiv auf) die die Ebene beschreiben die Niveaumenge, oder? Das problem ist doch, dass alles an f(x) gebunden ist und nicht an Teilmengen wie es das Höhenlinienmodell vorschreibt?! Vielen Dank und die allerbesten Grüße!
20.04.2007, 19:26	leeroy jenkins	Auf diesen Beitrag antworten »
* http://img473.imageshack.us/img473/6464/3dsinekb8.gif
20.04.2007, 21:12	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Höhenlinien zum Niveau c sind nichts anderes als alle Punkte des Graphen von z=f(x,y), die auf der Höhe von c sind, mathematisch: alle x,y mit f(x,y)=c. Zur Verdeutlichung: angenommen dir ist der Graph von f(x,y)=sin(x)+sin(y) vorgegen und du sollst graphisch die Höhenlinien von f zum Niveau c=1(2 bestimmen. Dann ist die Vorgehensweise: Lege eine Ebene E, die parallel ist zur (x,y)-Ebene, durch den Punkt (0,0,1/2). Der Schnitt von E und dem Graphen von f ist die Höhenlinie zum Niveau 1/2. Passt doch dann auch mit den Höhenlinien der Landkarte zusammen, wenn wir halt aus der Vogelperspektive (also aus z-Richtung) draufschauen.
20.04.2007, 23:40	leeroy jenkins	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum R^n - Niveaumengen Danke, so hab ich's sofort kapiert!!! ^^ Ich rekapituliere nochmal wo es haperte: $\begin{eqnarray} \mbox {Die Menge: } N_c(f) := \{ (x_1,...,x_n) \in \mathbb R^n ~ \| ~ f(x_1,...,x_n)=c \} \end{eqnarray}$ Eigentlich sollte ich solche Definitionen nach der Anaylsis schon richtig lesen können: Die Menge Nc von f sind alle Tupel der Dimension n bei denen die Funktion den festen Wert c annimmt. Also heißt dieser Strich \| = "gilt"

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