Beweis senkrecht stehn/ gleiche Länge

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20.04.2007, 21:02	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis senkrecht stehn/ gleiche Länge Hallihallo! Heute war mein Mathe-Abi und ich hab ne Frage zu einer Aufgabe, die ich nicht verstanden hab. Also: Man soll Beweisen, das die Strecke MP und MQ gleich lang sind und zudem senkrecht aufeinander stehen. Gegeben ist das rechtwinklig und gleichschenklich Dreieck ABC. M ist Mitellpunkt von AB und Q und P sind die Schnittpunkte der Diagonalen des jeweiligen Quadrat. Irgentwie hab ich da viel dran rum gerechnet, aber wirklich was gebracht hats nichts...wäre dankbar, wenn ihr mir einen ansatz geben könntet! Anmerkung: Ich hab die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{AB}=\vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{AC}=\vec{v} \end{eqnarray}$ eingeführt und schon MP und MQ damit dargestellt, aber weiter weis ich nicht mehr... $\begin{eqnarray} \vec{MP}=\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{MQ}=\frac{1}{2}\vec{v}-\vec{u} \end{eqnarray}$ stimmt des, kann man davon einfach ausgehen...? Danke schon mal für die Hilfe! Edit: des sollen beides Quadrate sein, sry, geht mit paint nich so gut (oder ich kanns zumindest nich)
20.04.2007, 21:29	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen ja, denn es ist ja bekannt, das das Dreiech rechtwinklig und gleichseitig ist und die Vektoren BP und v parallel sind. gleiches gilt für AQ und u. Klingt zumindest logisch Wie gehts dann weiter? wissen-will EDITH: aber du weißt, dass P und Q die Mittelpunkte der jeweiligen Quadrate sind?
20.04.2007, 21:33	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} \overline{BP}=\vec{v} \end{eqnarray}$ ist weiß ich auch aber des mit $\begin{eqnarray} \overline{AQ}=\vec{u} \end{eqnarray}$ versteh ich nicht, wie du des meinst
20.04.2007, 21:53	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab verstanden, wie du zu deinem 2. punkt kommst...war mir vorher nciht klar, weil ich immer von den eckpunkten der quadrate gelaufen bin... -0,5 vektorAB+0,5vektor AC-0,5 vektor AB, so was das gemeint oder? alles klar, danke. also ich finde diesen lösungsweg gut was ich vorher geschrieben hatte war sinnlos.
20.04.2007, 21:55	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nur noch kein Lösungsweg, des ist allerhöchstens ein Ansatz...naja
20.04.2007, 22:01	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du es vektoriell machen willst: A(a/0) und B(0/a) damit hast du $\begin{eqnarray} M(\frac{a}{2}/0)\quad{ } C(a/a)\quad{ } D(-\frac{a}{2}/\frac{a}{2}) \end{eqnarray}$ und jetzt bilde die vektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{MC}\quad{ }\overrightarrow{MD} \end{eqnarray}$ und schau dir ihre länge an und das skalarprodukt werner
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20.04.2007, 22:07	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, ok, dann war mein Fehler nur, dass ich nicht auf die Idee gekommen bin B(a/0) und C(0/a) zu setzen??? Des kann ja wohl nicht war sein...Mit Sklaraprodukt und Länge ausrechnen hätte ich dann keine Probleme mehr eigentlich... aber ich wusste nicht, wie ich $\begin{eqnarray} \vec{v}\vec{u}=0 \end{eqnarray*}$ ausrechnen kann (is nur ein Beispiel). Man! Na gut, ich versuch sann mal...
20.04.2007, 22:18	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
das nennt man verschenkte Punkte!!!!!! $\begin{eqnarray} \mid \vec{MP} \mid=\sqrt{a²+\frac{a²}{4}}=\frac{\sqrt{4a²+a²}}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}LE \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid \vec{MQ} \mid=\sqrt{\frac{a²}{4}+a²}=\frac{\sqrt{4a²+a²}}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}LE \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{MQ}\vec{MP}=\begin{pmatrix} -a \\ \frac{a}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\ a\end{pmatrix}=-a\frac{a}{2}+\frac{a}{2}a=-\frac{a²}{2}+\frac{a²}{2}=0 \end{eqnarray}$ Edit: sry ich machs weg...will hier ja nicht rumfluchen jetzt ists eh zuspät! Danke Werner!
20.04.2007, 22:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ach mädchen, da tust du mir leid, eigentlich hast du es besser gemacht als ich, zumindest ansatzweise, damit meine ich deinen ansatz $\begin{eqnarray} \overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}(v²-u²)-\frac{3}{4}\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \end{eqnarray}$ wegen - das brauchen wir gleich wieder $\begin{eqnarray} \mid \vec{u}\mid=\mid\vec{v}\mid \quad{ }\wedge\quad{ }\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \end{eqnarray}$ und die längen: $\begin{eqnarray} (\vec{v}+ 0.5\vec{u})²=v²+\vec{u}\cdot\vec{v}+0.25u²=1.25a² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0.5\vec{v}v-\vec{u})²=0.25v²-\vec{u}\cdot\vec{v}+u²=1.25a² \end{eqnarray}$ du arme werner
20.04.2007, 22:43	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm...danke! Wie gesagt, nu isches zu spät... Aber stimmt des oben...angenommen (ich geh mal nach meiner Zeichnung) B(a/0); C(0/a); P(a/a); Q(-a/2 / a/2) und M(a/2 /0)?
20.04.2007, 23:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt alles werner
20.04.2007, 23:28	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke nochma Werner!

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