Gerade liegt in Ebene

20.04.2007, 21:19

Dorika

Gerade liegt in Ebene

Heyho,

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} t,r,s \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
sind gegeben und a,b und c sollen so bestimmt werden, dass

1. g zu E parallel ist, jedoch nicht in ihr liegt

mein ergebnis:
- linear abhängig, wenn $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ ist.
- unterschiedliche Stützvektoren, also $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

2. g liegt in E

- linear abhängig, aber wie mache ich das genau?

3. g schneidet E

- nicht linear abhängig, also $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , außer, wenn $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ ist, dann muss $\begin{eqnarray*} b\neq 2 \end{eqnarray*}$
bzw $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , außer, wenn $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ ist, dann muss $\begin{eqnarray*} c\neq 1 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

wie muss ich jetzt bei 2. vorgehen und passt das soweit? vielen dank

20.04.2007, 22:40

Calvin

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RE: Gerade liegt in Ebene

Zitat:

1. g zu E parallel ist, jedoch nicht in ihr liegt

mein ergebnis:
- linear abhängig, wenn $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ ist.
- unterschiedliche Stützvektoren, also $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das erste habe ich nicht nachgerechnet. Aber die Bedingung "Richtungsvektor Gerade ist linear abhängig zu den Spannvektoren der Ebene" ist richtig.

Die zweite Aussage ist falsch. Nur weil die beiden Stützvektoren unterschiedlich sind, heißt das noch lange nicht, dass die in unterschiedlichen Ebenen sind. Schaue nach, für welche Werte von a der Stützvektor der Geraden nicht in der Ebene liegt. Den gefundenen Wert für c (Achtung, ich habe nicht nachgerechnet!) kannst du ab hier verwenden.

Oder anders ausgedrückt: für welches a hat das LGS $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\2\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

keine Lösung?

Die Werte für a, die bei dieser Aufgabe ausgeschlossen werden, sind die gesuchten Werte für die zweite Aufgabe Augenzwinkern

Schließlich ist die Gerade entweder in der Ebene drin, oder "echt" parallel.

21.04.2007, 08:44

riwe

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RE: Gerade liegt in Ebene
oder vielleicht so verwirrt

wozu gibt es das vektorprodukt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c \\ -c\\ 1\end{pmatrix} \to E: xc-cy+z=2 \end{eqnarray*}$

prüfen auf parallelität verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\b \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} c\\ -c \\ 1 \end{pmatrix}=0\to b=\frac{c+1}{c} \quad{ }c \neq 0 \end{eqnarray*}$

liegt der aufpunkt $\begin{eqnarray*} P(a/2/-1) \end{eqnarray*}$ in E verwirrt

$\begin{eqnarray*} ac-2c-1=2\to a=\frac{3+2c}{c}\quad{ }c\neq 0 \end{eqnarray*}$

schlüße wie oben

bleibt noch $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: z = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\b \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=1\neq 0 \end{eqnarray*}$

also gibt es immer einen schnittpunkt für $\begin{eqnarray*} t=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(a+3/2+3b/2) \end{eqnarray*}$

ob das alles wahr ist verwirrt

werner

21.04.2007, 17:05

Dorika

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ok, also mache ich praktisch sowas wie ne punktprobe und gucke, für welches a der punkt zu dem der stützvektor führt, auf der geraden liegt.

dann hab ich bei g liegt in E: a=5

und bei g ist parallel zu E: a element aller reellen zahlen, a ungleich 5

WIe sieht es mit dem schnittpunkt aus? das ist doch vollkommen egal, was ich wähle.... kan ich das so ausgrücken, gibts da irgendeine kurzschreibweise für?

-> Das Kreuzprodukt ist mir noch nicht wirklich geheuer... Augenzwinkern

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