Umordnung

05.12.2004, 13:04

Yoko

Umordnung

HALLOOOO,

ich sitze hier an einer kniffligen Aufgabe die mir fast unlösbar scheint.

Sei $\begin{eqnarray*} n\neq m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Man beweise: Die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ bleibt divergent, wenn man die Vorzeichen der Summanden so abändert, dass auf n positive Summanden stets m negative Summanden folgen.

also ist z.B. Die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} +\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} -\frac{1}{6} ++... \end{eqnarray*}$ divergent.

Das einzige das mir dazu einfällt ist, die negativen Therme auszuklammern, dann sieht man zumindest das es weniger negative als positive Therme gibt.
Meine nächste Idee etwas mit partialbrüchen zu machen, indem ich um die ersten drei eine klammer setze dann um die nächsten drei und so weiter.
aber dafür will mir absolut keine Formel einfallen, die auf 1/k passt

Tips, Ansätze, Lösungen etc. sind immer willkommen.

gruß yoko

05.12.2004, 13:19

DGU

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Zitat:

wenn man die Vorzeichen der Summanden so abändert, dass auf n positive Summanden stets m negative Summanden folgen.

ich finde die fragestellung sehr interessant, nur die vorraussetzung hab ich nicht verstanden...

05.12.2004, 13:37

Yoko

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Ich finde auch das die Aufgabenstellung sehr interessant ist.
Aber das mit den n und m habe ich so verstanden

die harmonische Reihe wurde abgeändert indem man aus jedem dritten plus ein minus gemacht hat
auf 2 positive folgt ein negatives

also n+n+m+n+n+m+... wenn n immer ein positiver und m ein negativer ist

was man sieht ist das es mehr n als m gibt. Aber wie mir das beim rechnen hilft weiß ich nicht.

05.12.2004, 14:26

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Ich will dir nur so viel verraten, dass für n>m der (uneigentliche) Reihenwert +Unendlich, für n<m der Wert -Unendlich und für n=m eine konvergente Reihe herauskommt. Das sieht man z.B. dadurch, dass man immer (n+m) aufeinanderfolgende Reihenglieder zusammenfasst und geeignet nach oben bzw. unten abschätzt.

05.12.2004, 19:56

Yoko

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mhhm ok. Dann probier ich mal folgendes

Bei der Reihe handelt es sich wohl um den Fall n>m

dann ist $\begin{eqnarray*} 0<b_{k}:=(\frac{1}{1} +\frac{1}{2} -\frac{1}{3}) +(\frac{1}{4}+-)+(...) = \frac{1}{3k-2} +\frac{1}{3k-1} -\frac{1}{3k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{9k} \frac{9-\frac{3}{k^{2}}}{3-\frac{3}{k} -\frac{1}{k^{2}} } \end{eqnarray*}$

Und nach den Rechenregeln ist

$\begin{eqnarray*} \frac{b_{k}}{\frac{1}{9k}} \to \frac{9}{3} >0 \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{9k} \end{eqnarray*}$ divergent und nach dem Grenzwertkriterium auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~b_{k} \end{eqnarray*}$

und dann divergiert auch die ungeklammerte reihe

kann das so hinhauen?

05.12.2004, 20:05

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Es sind ein paar kleine Rechenfehler beim Zusammenfassen drin, die aber an der prinzipiellen Richtigkeit des Vorgehens nichts ändern.

Jetzt musst du das nur noch für allgemeine n>m geeignet aufschreiben.

Dazu empfehle ich ein Zusammenfassen und anschließendes Abschätzen der Art

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{k}+\ldots+\frac{1}{k+n-m-1}\right)+ \left[\left(\frac{1}{k+n-m}+\ldots+\frac{1}{k+n-1}\right) -\left(\frac{1}{k+n}+\ldots+\frac{1}{k+n+m-1}\right)\right] \end{eqnarray*}$

also (n-m), m und nochmal m Summandes.

06.12.2004, 07:17

Yoko

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Dieses versteh ich nicht so ganz. Vor allem wie schätze ich jetzt ab?

06.12.2004, 07:40

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Also dass [...] > 0 gilt, sieht man leicht aus der Monotonie von 1/k.

Für die Abschätzung nach oben gibt es verschiedene Möglichkeiten, z.B.

$\begin{eqnarray*} \left[...\right] \leq \frac{m}{k+n-m}-\frac{m}{k+n+m} \leq \frac{2m^2}{(k+n-m)^2} \end{eqnarray*}$ ,

letzterer Term ist von der Größenordnung 1/k², und somit als Reihe konvergent!

06.12.2004, 10:01

Yoko

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also wäre die umgeordnete Reihe konvergent?
sollte sie aber nicht diverghent sein? verwirrt

06.12.2004, 11:21

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Zitat:

Original von Yoko
also wäre die umgeordnete Reihe konvergent?
(

Du hast den Anteil

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{k}+\ldots+\frac{1}{k+n-m-1}\right) \end{eqnarray*}$

der Zerlegung (...)+[...] (s.o.) vergessen!!!

06.12.2004, 15:11

Yoko

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ich glaub ich schlaf da nun mal eine Nacht drüber

06.12.2004, 18:19

BraiNFrosT

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Musst du nicht auch morgen schon abgeben ?

09.12.2004, 15:14

Yoko

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ich habs nicht eilig