minimaler Erwartungswert

05.12.2004, 15:39	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
minimaler Erwartungswert Hallo, ich knobble schon den ganzen Sonntagnachmittag an einer AUfgabe rum, komm aber einfach nicht weiter. Vielleicht habt ihr ja eine Idee.... Ein fairer Würfel wird 4-mal geworfen. Xi sei das Ergebnis des i-ten Wurfes. Sei X:= min {X1, ..., X4} Bestimme E(X) Ich wünsche allen noch einen schönen zweiten Advent Steffi
05.12.2004, 15:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: minimaler Erwartungswert Es ist $\begin{eqnarray} P(X\geq k)\stackrel{!}{=}P(X_1\geq k,X_2\geq k,X_3\geq k,X_4\geq k) \end{eqnarray}$ , und den rechten Ausdruck kann man leicht ausrechnen - vielleicht hilft dir das ein Stück weiter.
07.12.2004, 20:34	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Athur, vielen Dank für die schnelle Antwort. Die Gleichung sieht gut aus, ich verstehe nur leider nicht, wieso man den rechten Teil leicht lösen kann? Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe was P( Xi >= k ) sein soll bzw. wie die einzelnen Xi s aussehen. Gruß Steffi
07.12.2004, 23:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ ist das Ergebnis des i-ten Wurfes gemeint. Ein Komma bedeutet in diesem Kontext so viel wie das logische "und". $\begin{eqnarray} X_1 \geq 3 \end{eqnarray}$ heißt also so viel wie $\begin{eqnarray} \text{Das Ergebnis des ersten Wurfes ist mindestens 3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_1 \geq 3 \; , \; X_2 \geq 3 \; , \; X_3 \geq 3 \; , \; X_4 \geq 3 \end{eqnarray}$ heißt dann so viel wie $\begin{eqnarray} \text{Das Ergebnis des ersten und zweiten und dritten und vierten Wurfes ist mindestens 3} \end{eqnarray}$ Wenn ich aber sage, daß jeder der vier Würfe eine Augenzahl mindestens von 3 liefert, ist das dasselbe, als wenn ich sage, daß die minimale Augenzahl der vier Würfe mindestens 3 ist. Damit bedeuten (wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gerade dieses Minimum bezeichnet) $\begin{eqnarray} X \geq 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_1 \geq 3 \; , \; X_2 \geq 3 \; , \; X_3 \geq 3 \; , \; X_4 \geq 3 \end{eqnarray}$ dasselbe. Damit sind natürlich auch die Wahrscheinlichkeiten gleich. $\begin{eqnarray} P(X \geq 3) = P(X_1 \geq 3 \; , \; X_2 \geq 3 \; , \; X_3 \geq 3 \; , \; X_4 \geq 3) \end{eqnarray}$ Diese Wahrscheinlichkeit kannst du aber mit Kombinatorik leicht herausfinden. Überlege einmal, wie viele Augenzahlen für den ersten, für den zweiten, für den dritten und für den vierten Wurf noch in Frage kommen, wenn jeder dieser Würfe mindestens die Augenzahl 3 besitzen soll. Und so wie für die Mindestaugenzahl 3 kannst du auch für alle anderen Mindestaugenzahlen die entsprechende Wahrscheinlichkeit bestimmen. WAS NÜTZEN DIR ABER DIESE WAHRSCHEINLICHKEITEN? Addiere Sie: $\begin{eqnarray} P(X \geq 1) + P(X \geq 2) + \ldots \ldots + P(X \geq 6 ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left( \; P(X=1) + P(X=2) + \ldots + P(X=6) \; \right) + \left( \; P(X=2) + P(X=3) + \ldots + P(X=6) \; \right) + \ldots \ldots + P(X \geq 6) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + \dots + 6 \cdot P(X=6) \end{eqnarray}$ Und - hast du gemerkt, was der letzte Ausdruck berechnet? \\EDIT by sommer7: Latex verbessert: " wird im latex in machen browser nnicht richtig dargestellt

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