Funktionsschar aufgaben

05.12.2004, 20:22	Sweetgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsschar aufgaben gegeben funktionsschar f(x)= x^-k * ln(x²), k€N 1.zunächst sei x€R mit x>0 1.1.bestimmen sie das monotonieverhalten von f sowie die lage und die art der lokalen extrempunkte 1.2.zeigen sie: alle graphen der funktionsschar f haben im gemeinsamen schnittpunkt mit der x-achse die gleiche tangente 2.jetzt sei x€R mit x=/0 2.1. untersuchen auf monotonie also f 2.2jede funktion der schar besitzt 2 nullstellen und in diesen zwei Tangenten t1 und t2 berechnen sie den winkel zwischen diesen Tangenten brauch eure hilfe,.... denn ich weiß nich wie ich auf die lösung komme,.. da waren noch mehr aufgaben aber die hab ich gelöst bekommen, aber hier bleib ich hacken
05.12.2004, 21:20	Sweetgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsschar aufgaben hab versucht mit der monotonie anzufangen 1.ableitung >0 , also der graf is streng monoton wachsend für alle x also für k>0 is die funktion streng monoton steigend, für k<0 is die funktion streng monoton fallend,..oder nicht ? die extrempunkte müssten doch -e^(1/k) sein und der andere e^(1/k) richtig ? so und hier hackt es,...
06.12.2004, 12:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. stimmt nicht ganz. Du musst die Funktion für positive k und negative k getrennt skizzieren! Die Funktion wird zunächst umgeformt in $\begin{eqnarray} f(x) = 2x^{-k} \cdot ln(x) \ \ wegen \ ln(x^2) = 2 \cdot ln(x) \end{eqnarray}$ Die 1. Ableitung lautet dann $\begin{eqnarray} f \ '(x) = 2 \cdot x^{-(k + 1)} \cdot (-k \cdot ln(x) + 1) \end{eqnarray}$ Somit sind die Merkmale der Funktion stark vom Vorzeichen des k abhängig. Die Funktion ist auch nicht durchwegs monoton, sondern ändert ihr Monotonieverhalten dort, wo die 1. Ableitung Null wird, also im Extrempunkt. k > 0 .. monoton steigend bis $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray}$ , danach fallend k = 0 .. monoton steigend im ganzen Def. Bereich, weil es dann KEIN* Extr. gibt k < 0 .. monoton fallend zw. $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray}$ , danach mon. steigend Bei $\begin{eqnarray} -e^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray}$ gibt es kein Extremum, du meintest statt dessen wohl bei $\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{k}} \end{eqnarray}$ , was ein großer Unterschied ist, denn dabei steht das Minus im Exponenten und das kann man nicht nach vorne ziehen. Der gemeinsame Schnittpunkt aller Graphen ist (1,0), warum? Für die Steigung der Tangenten dort muss x = 1 in die 1. Ableitung eingesetzt werden. Was erhalten wir? Hilft dir das zunächst weiter? Gr mYthos
06.12.2004, 14:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ mYthos Ich denke, die Sache ist etwas einfacher. Ganz oben am Eingang ihres Beitrags schreibt Sweetgirl: $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , womit wohl hier die positiven ganzen Zahlen gemeint sind. Eine Fallunterscheidung nach $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist daher unnötig. Allerdings soll $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ sein. Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^{-k} \ln{x^2} \end{eqnarray}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung (falls $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ungerade ist) oder achsensymmetrisch zur y-Achse (falls $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gerade ist). Daher genügt es, den Fall $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ zu untersuchen, was wohl im Aufgabenteil 1. geschehen soll. Im Aufgabenteil 2. können dann die Ergebnisse aus 1. aufgrund der Symmetrie umgeschrieben werden. Die Umformung $\begin{eqnarray} \ln{x^2} = 2 \ln{x} \end{eqnarray}$ ist nur für positive $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gültig, erleichtert aber natürlich die Rechnung in 1. wesentlich.

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