Mathematische Unlogik - Seite 2 |
| 13.12.2003, 19:57 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 13.12.2003, 20:13 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja nicht wirklich. man sagt ja, dass terme der form lim n -> oo (k / n) = 0 sind. Aber der Bruch k / n wird niemals wirklich 0 werden, sondern er strebt gegen 0. 
Deshalb glaube ich nicht, dass die terme, bzw. die grenzwerte äquivalent sind. Das sieht man auch schon, wenn man die funktionen zeichnet. Genauso wie die Funktion f(x) = 1/x, die ja bekanntlich die x-Achse niemals berührt, aber der Grenzwert lim x-> oo (1/x) = 0 ist. Ich würde allgemein davon abraten mit oo irgendwie rumzurechnen. Der Limes ist doch definiert. Was will man da beweisen? |
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| 13.12.2003, 20:18 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Gust: Du hast 1^oo=exp(1) behauptet. Ich habe dir ein Beispiel für einen Ausdruck der Form 1^oo gegeben, der einen anderen Wert als exp(1) hat, in diesem Fall nämlich exp(2), womit ich dir zeigen wollte, dass deine Aussage im Allgemeinen nicht richtig ist. |
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| 13.12.2003, 22:32 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ falk: meiner Meinung nach kann man schon mit oo "rumrechnen", aber man muss sich dann halt im klaren bleiben, ob der Grenzwert jetzt eigentlich oder uneigentlich ist, bzw. ob ein Punkt jetzt der Letzte einer Reihe oder so ist, oder ob er, graphisch gesehen, asymptotisch ist. |
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| 14.12.2003, 12:09 | Meromorpher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man darf die reellen Zahlen auf [-oo,oo] erweitern. Dann kann man mit oo wirklich wie mit Zahlen rechnen, so lange man die paar schwierigen Fälle (s.o.) meidet (die es für normale Zahlen ja auch gibt). @fALK deLUXE: c/oo ist echt und wirklich null (für c!=oo). Mit dieser Null darf man rechnen wie mit jeder anderen auch 
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| 14.12.2003, 23:59 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das dann ein eigentlicher Grenzwert oder nicht? Berührt die Funktion die Waagrechte Asymptote in der Unendlichkeit? wenn ja, wie geht f(x) dann weiter?
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| 15.12.2003, 00:48 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
argh, da versteif ich mich ja schon wieder in etwas.
@Gust: uneigentlicher Grenzwert ist nur +- oo und das trifft ja für 1 / x nicht zu. Hmm, hab grad nochmal nachgeschaut. Die Mathematiker waren so schlau und haben die Stelle an der der Graph die x-Achse berührt außerhalb vom Definitionsbereich gelegt, somit ist es legitim zu sagen, dass der Grenzwert für lim |x| -> oo 1/ x = 0 ist, obwohl 0 außerhalb vom Wertebereich liegt, denn setzt man ein: f(x) = 0 0 = 1 / x | * x 0 * x = 1 0 = 1 => Widerspruch: 0 nicht ? Wf 1 / x berührt die x - Achse nie, hat trotzdem den eigentlichen Grenzwert von 0, wobei ich mich für euch wieder einmal im kreis gedreht hab, weil das schon alles in meinem letzten post steht.
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| 15.12.2003, 01:32 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Widerspruch entsteht, weil du auf der linken Seite 0 mit oo mal nimmst und auf der rechten Seite oo durch oo teilst, was beides nicht definiert ist. Der "Grenzwert-Beweis" ist schon korrekt... das einzige Problem, das ich damit hab ist nur, dass ein einziger Schritt (limes -> oo) genauso schwer nachvollziehbar ist, wie das was bewiesen werden soll... deshalb weiß ich nicht unbedingt, ob es wirklich ein Beweis ist, oder nur eine Umschreibung des gleichen Problems. |
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| 16.12.2003, 19:14 | bone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ausnahme von ner regel?
ausnahmen bestätigen bekanntermassen die regel. wenn dies wahr ist, gibt es auch eine ausnahme, die die regel "ausnahmen bestätigen die regel" bestätigt. angenommen diese ausnahme trifft einmal ein, dann gibt es einen fall indem eine regel nicht durch eine ausnahme bestätigt wird. kann dies auch auf die regel "ausnahmen bestätigen die regel" zutreffen? ausnahmen bestätigen bekanntermassen die regel. ist dies falsch, gibt es keine ausnahme für die regel "ausnahmen bestätigen die regel" (dann gibt es generell keine ausnahme, die eine regel bestätigt, was wiederum dem ganzen sprichwort seine grundlage entzieht.) und somit gilt die regel "ausnahmen bestätigen die regel" immer, was zeigt dass ausnahmen die regel bestätigen. das geht aber nicht wenn das sprichwort doch eigentlich falsch ist ... sagt ma was dazu 
ps: helft dem daniel (psyrius) ma in mathe ... der hat grad ne arbeit verhauen und schreibt am donnerstag die nächste 
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| 16.12.2003, 20:17 | Philipp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir bitte mal jemand sagen, was ein uneigentlicher Grenzwert sein soll? Dass 1/x nie 0 wird für x aus IR hat ABSOLUT nichts mit dem Grenzwert von 1/x für x->oo zu tun. |
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| 16.12.2003, 23:49 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein eigentlicher grenzwert wird erreicht z.B. l i m x+1 = 6 x->5 der wert wird wirklich erreicht wohingegen der uneigentliche Grenzwert l i m 1/x = 0 x->oo nie erreicht wird. |
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| 17.12.2003, 00:56 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falsch, uneigentlicher Grenzwert bezieht sich nur auf lim x -> xn g(x) = +-oo. Damit ist eine bestimmte Form der Divergenz gemeint. Divergenz bedeutet grundsätzlich, dass kein Grenzwert existiert, wie bei alternierenden Folgen. Nun, da +-oo keine richtige Zahl ist, da es keine größte oder kleinste Zahl gibt, spricht man hier von bestimmter Divergenz. l i m x+1 = 6 x->5 ist dahingegen ein Beispiel für Konvergenz. Bei lim 1/x x -> oo unterscheidet Winfunktion zumindest nochmal und legt per Definition fest, dass der Grenzwert einer Nullfolge eben 0 ist. Das hat erstmal nichts mit Divergenz oder Konvergenz zu tun, somit entfällt die Bezeichnung uneigentlicher Grenzwert auf dieses Beispiel. Die Informationen hab ich aus der "Mathematik Formelsammlung" von Cornelsen und WinFunktion bezogen. |
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| 17.12.2003, 10:51 | Meromorpher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie fALK gesagt hat, ist das so falsch. Diese Differenzierung zwischen uneigentlich und eigentlich kenne ich so auch gar nicht und im Bronstein (aka. Mathe-Bibel) steht davon auch so nix. Bei Grenzwerten von Funktionen gibt es den "Unendlichen Grenzwert" was einfach lim(f(x),x->a)=oo bedeutet. Das ist vielleicht auch als uneigentlich bekannt. Dann gibt es noch "Links- und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x=a" und "Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich". l i m x+1 = 6 x->5 wird auch nie erreicht, so lange x!=5. Genau so wird l i m 1/x = 0 x->oo erreicht wenn x = oo (erweiterte reele Zahlenachse). Beides sind ganz normale, äquivalente Grenzwerte, einer eben für x gegen eine Zahl, der andere für x gegen unendlich. |
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| 17.12.2003, 15:08 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, da in diesem Thread sowieso schon sehr viel Schwachsinn geredet wurde stemple ich die Bezeichnung "uneigentlicher Grenzwert" auch mal als solchen ab, bis jemand eine vernünftige Definition liefert. @Gust: Schau dir mal bitte die Definition von Grenzwerten an. lim x->5 von x+1 hat eigentlich überhaupt keinen Sinn, bzw wird über Folgen definiert, deren Grenzwert 5 ist. Es ist also kein Unterschied zwischen den beiden Grenzwerten vorhanden würde ich mal behaupten. |
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| 17.12.2003, 19:01 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, mach ich! Bisher hab ich es halt immer so vewrstanden, und die Konvergenz in Zusammenhang mit dem eigentlichen Grenzwert stimmt doch, oder? Und, auf den zweiten Blick, hast du recht: meine Definition für eigentlichen Grenzwert ist schmarrn, da es sich nicht um eine Reihe handelt, oder um eine Kurve, dessen Steigung an einer bestimmten Stelle ermittelt werden soll. |
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| 17.12.2003, 23:21 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmpf, dann tippel ich mal die Def. von "uneigentliche Grenzwerte bei Funktionen" ab: Wenn für jede Folge Xn mit xn Element D(f), xn <> x0 und lim n -> oo (Xn) = xo gilt lim n -> oo f(Xn) = +- oo. so schreibt man lim x -> x0 f(x) = +- oo, und spricht von einem uneigentlichen Grenzwert. Wenn für jede Folge Xn mit xn Element D(f) und lim n -> oo (Xn) = oo gilt lim n-> oo f(Xn) = +-oo, so schreibt man: lim x -> oo f(x) = +-oo (uneigentlicher Grenzwert). Wenn für jede Folge Xn mit xn Element D(f) und lim n -> oo (Xn) = -oo gilt lim n-> oo f(Xn) = +- oo, so schreibt man: lim x -> -oo f(x) = +-oo (uneigentlicher Grenzwert). |
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| 17.12.2003, 23:36 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jup! Klingt zwar etwas kompliziert, aber genau so hab ich mir das gedacht. Aber es ging doch um den eigentlichen Grenzwert, und nicht um den Uneigentlichen, oder?
- das mit dem eigentlichen und dem uneigentlichen Grenzwert hab ich aus der Differentialrechnung. |
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| 17.12.2003, 23:45 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Definitionen sind meist kompliziert.
Uneigentlicher Grenzwert ist eben nur eine besondere Form der Divergenz. Das bedeutet, dass die Funktion oder entsprechende Folge keinen Grenzwert hat(mögen die Hochschulmathematiker aufschreien
). Den Begriff "eigentlicher Grenzwert" kenn ich nicht wirklich, muss aber letzendlich nur ein Synonym für Konvergenz sein. |
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| 17.12.2003, 23:51 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist der gleiche Sachverhalt, es sind sogar Synonyme, stimmt! Aber ich habe es als eigentlicher und uneigentlicher Grenzwert gelernt (bzw. gelesen), und es schien mir Plausibel: den einen gibts schon, und den anderen "eigentlich nicht", also uneigentlich! [Definitionsmathematiker, bitte nicht :rolleyes: !!!] |
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| 17.12.2003, 23:55 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber der Grenzwert einer Sinus oder Kosinus-Funktion(für x gegen +-oo) fällt ja aus diesem Bereich, also weder uneigentlich noch eigentlich. Nämlich gar kein Grenzwert. |
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| 17.12.2003, 23:57 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mhm, stimmt, der verschwindet ja nur Definitionsmäßig im Unendlichen, nicht aber im Wertemäßigen. |
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| 29.12.2003, 16:03 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne jetzt den ganzen thread gelesen zu haben: Das man reelle Zahlen in der üblichen Form "1,23423490888345..." darstellen kann muss man eigentlich erst mal beweisen ! Das ganze nennt sich dann Satz über die p-adische Bruchentwicklung. Dabei kann man dann zwei im Prinzip gleiche Wege gehen. Entweder man definiert das 0.99999[periode]9 = 1 für diesen und alle anderen ähnlichen Zahlen, oder (was ich viel schöner finde weil die Darstellung eindeutig wird) man verbietet einfach die entwicklung in p-1 Perioden. |
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| 29.12.2003, 21:25 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Endlich mal jemand der versteht was ich die ganze Zeit sagen will
Auch wenn ich viel "Schwachsinn" geredet hab... vielleicht war doch nicht alles Schwachsinn :P @epikur: 
im Matheboardstell dich doch mal hier vor... was du sagst klingt sehr interessant, weißt du wo ich mehr über p-adische Bruchentwicklung erfahren kann? @Thomas: google hab ich schon gefragt
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| 31.12.2003, 19:17 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zB in Walter Analysis I ,Abschnitt 2.15, dort heisst das Ding "Satz über die g-adische Zahldarstellung" und findet sich in meiner Ausgabe auf Seite 31. |
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| 02.01.2004, 00:44 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke |
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| 16.01.2004, 11:36 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst einmal möchte ich mich für meine Überheblichkeit entschuldigen. Ist folgender Satz ein Axiom? "Die größte Zahl, die kleiner als jede positive Reelle Zahl ist, ist Null'' Stimmt es, das dieser Satz für die hyperreellen Zahlen *R (eine Erweiterung der reellen Zahlen) R nicht zutrifft? Also dass in den hyperreallen Zahlen 0.999999999..... nicht 1 ist?
http://groups.google.de/groups?selm=881c...ting.google.com Gruß, Philipp |
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| 16.01.2004, 13:21 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hyperreelle Zahlen: http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahlen Reelle Zahlen: http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahlen Ich mag den hier angedeuteten konstruktiven Zugang nicht so sehr, obwohl er natürlich einem möglichen Axiomatischen Zugang äquivalent ist. Ein mögliches Axiomensystem ist: (1) R ist ein Körper. Das sind eigentlich 9 Axiome aber was solls. Es gibt eine Teilmenge P von R (später auch die positiven Zahlen genannt ) so daß gilt: (2) für a aus R gilt genau eine der folgenden Eigenschaften: a = 0 oder a in P oder -a in P (3) sind a und b in P so sind auch a+b und a*b in P Das Vollständigkeitsaxiom: (4) Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum. |
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