Mathematische Unlogik

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Gust Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematische Unlogik
0,[periode]3 + 0,[periode]3 + 0,[periode]3 = 0,[periode]9

0,[periode]3 = 1/3

1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1

--> 0,[periode]9 = 1.....?????

ist 1 nicht der uneigentliche Grenzwert von 0,[periode]9 ?

warum ist das dann gleich 1, wenn der Grenzwert nur uneigentlich ist???
phil Auf diesen Beitrag antworten »

0.[perionde]9 = 1

was genau ist ein uneigentlicher grenzwert?
 
 
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Bei allem, das irgendwie weitergeht 0,[periode]9 = 0,99999....
gibt es Grenzwerte.

Ein eigentlicher grenzwert ist einer, der wirklich erreicht wird, der dann halt der letzte Punkt einer Reihe oder so ist.

Ein uneigentlicher Grenzwert ist einer, der theoretisch der letzte einer Reihe oder so ist, der aber nie erreicht wird, so kommt z. B. 0,9999... immer näher an 1 heran, erreicht diese aber nie.
phil Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke

wenn 0.[periode]9 ein grenzwert ist, dann ist es auf jeden fall ein eigentlicher... die zahl aendert sich ja schliesslich nicht.
ich glaub aber gar nicht mal dass 0.[periode]9 ein grenzwert ist, sondern einfach nur eine zahl, die eine andere schreibweise fuer 1 ist. 0.[periode]9 war schon immer genau bei 1 und wird da auch immer bleiben smile
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

klar ändert sich die Zahl nicht, aber sie ist ja nur nach der obigen Definition gleich 1, aber rein logisch nicht, oder? verwirrt
phil Auf diesen Beitrag antworten »

ich find schon dass es logisch ist... schliesslich sind es ja unendlich viele 9er, und es gibt keine zahl, so klein sie auch sein mag, die zwischen 0.[periode]9 und 1 liegt
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, das stimmt.
ABER:

ich glaub ich erzähl mal ein Beispiel:

Ein Floh sitzt auf einer Vorhangstange. Mit seinem ersten Sprung schafft er die Häfte der Vorhangsgange zu überspringen. Dadurch ist er aber so geschwächt, dass der nächste Sprung nur noch die Hälfte des ersten ist. Und so weiter.

Das ist eigentlich dasselbe, bloß mit einem anderen Faktor, aber der Floh kommt doch dann auch nie am anderen Ende an, oder???



Das ist übrigens mein 100. Beitrag Tanzen
phil Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub, ein unterschied zwischen mathematik und physik ist, dasss in der mathematik die zeit unendlich schnell vergeht... so schafft der floh das irgendwie doch Augenzwinkern klar realistisch ist das nicht...

Zitat:
Das ist übrigens mein 100. Beitrag

glueckwunsch... ich hatte auch grad erst meinen 100sten smile
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

hehe glückwunsch 8)
also mein lehrer meinte mal auch daß 0.99999... immer gleich 1 ist auch endlich aber er hat es leider nicht bewiesen
zum floh: verwirrt hm stimmt ja
gibt es denn einen beweis dafür?
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gust
Das ist übrigens mein 100. Beitrag Tanzen


Glückwunsch :]

Wie schön das man sich auch noch über die kleinen Dinge des Lebens freuen kann Augenzwinkern
phil Auf diesen Beitrag antworten »

ich leide mal wieder unter schlaflosigkeit, weil ich die ganze zeit ueber mathe nachdenken muss :P

eigentlich ist es ganz logisch, dass 0.999.... gleich 1 ist, das muss man gar nicht beweisen, find ich. 0.999... ist einfach keine folge, die sich 1 annaehert... aber ich glaub ich hab selbst wenn man es so sieht ein gutes argument dafuer gefunden, dass 0.999... gleich 1 ist smile richtige mathe ist das irgendwie nicht... aber egal...

1 - 0.9 = 0.1
1 - 0.99 = 0.01
1 - 0.999 = 0.001

fuer n=anzahl der 9er:
1 - 0.[n 9er] = 0.[(n-1)0er]1

fuer n=unendlich also: 1 - 0.[unendlich 9er] = 0.[unendlich 0er] 1

und da man wegen der unendlich nullen gar nicht die 1 ereichen kann, kann sie einfach ignorieren. also ist der abstand zwischen (0.999...... und 1) 0 => 0.999... und 1 sind die gleiche zahl smile
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

also ich finde deinen beweis interessant, aber wie wärs damit?:
der unterschied zwischen 0,999... und 1 ist 1/10^n wobei n die anzahl der stellen ist, und nach unendlich geführt wird.
dabei ist 1/unendlich=0. hab ich mal in der integralrechnung gelernt Augenzwinkern ein beweis ist das auch nicht, aber die werden in der infinitesimalrechnung schon einen grund haben sowas zu behaupten Augenzwinkern
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Schomma soo versucht?
0.1111... = 1/9
Wieviel sind dann 9/9 ?
Was für Spielforscher am TR: Was ist 1/90, 1/99, 1/900 ...?
gruss johko
phil Auf diesen Beitrag antworten »

@johko: du hast einfach nochmal gusts erste frage wiederholt...

ich glaub wir suchen gar keinen beweis, sondern ne anschauliche erklaerung.

Zitat:
Original von alpha
unterschied zwischen 0,999... und 1 ist 1/n wobei n nach unendlich geführt wird


danke, ich weiss gar nicht warum ich so kompliziert gedacht hab :P
aber ne kleinigkeit muss ich noch aendern der underschied ist nicht 1/n sondern 1/(10^n) wenn n fuer die anzahl der 9er steht Tanzen
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

so, geändert Augenzwinkern

@johko:
es ging halt darum, dass man versucht den sachverhalt mit anderen mitteln als den wurzeln zu erklären... (9/9 oder 3/3 ist ja auch irgendwie das gleiche Augenzwinkern )
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Jau- hab ich auch grad gemerkt :P
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was bedeutet 0.999... denn überhaupt?
0.9=9/10
0.99=9/10+9/100
0.999=9/10+9/100+9/1000
Also bei n Neunen gerade
sum(9/10^k,k=1..n)
und das ist eine ganz normale geometrische Reihe, also kann man auch die bekannte Formel für geometrische Reihen benutzen, und die liefert für sum(9/10^k,k=1..infinity) gerade 1.
Man kann aber auch argumentieren, dass zwischen 2 verschiedenen reellen Zahlen immer unendlich viele andere reelle Zahlen liegen müssen.
Zwischen 0.999... und 1 findet man aber keine reelle Zahl, und damit sind sie gleich.
@Gust:
Zum Flohbeispiel:
sum(1/2^k,k=1..n) wird zwar für natürliches n nie 1 werden, doch
sum(1/2^k,k=1..infinity) ist sehr wohl 1 und da 0.999... nur eine Abkürzung für eine unendliche Reihe ist, kann diese sehr wohl 1 sein, auch, wenn sum(1/10^k,k=1..n) für natürliches n niemals 1 werden wird.
data Auf diesen Beitrag antworten »

ich kenne zwar den begriff uneigentlicher grenzwert nicht,a ber deiner definition nach sollte doch auch 0.(periode)3 der uneigentliche grenzwert zu 1/3 sein. Dem entsprechend auch die diskrepanz.
weiss noch, dass damals in der 6ten, als ich die frage gestellt habe, mein mathelehrer mir das nicht ganz erklaeren konnte, weil man dafuer hoehere mathematik brauchte als bruchrechnung, aber ich habe ihm damals auch ungefaehr die argumente wie hier gegeben...
Na ja, auf jeden fall hat mein vater das auch bezweifelt, sich aber vom beweis meines mathelehrers geschlagen gegeben... leider war das vor 5 jahren, also keine ahnung mehr, was das war...

meine 2 cent
deHoeninger Auf diesen Beitrag antworten »

Also das 0,[9] = 1 ist ganz einfach zu beweisen.

man nehme
1 = 0,[9]

das ganze mal 10
10 = 9,[9]

man ziehe 1/10 wieder ab und erhalte
9=9

dividiere durch 9 und erhalte
1 = 9/9

Man sieht es ist wirklich nur ein Darstellungsfehler der Dezimalschreibweise.
[EDIT]
Unglücklich ausgedrückt, es ist kein Darstellungsfehler, sondern nur eine andere Darstellungsform. Die im Vergleich mit anderen Darstellungsformen ( 0,[9] , 1 , 9/9) für den selben Wert (1) aber dies vermuten lassen.
[/EDIT]

Dies betrifft übrigens alle Periodischen Zahlen, sie lassen sich alle als Bruch genau definieren.

Man nehme z.B. 0,[14] ist nix anders als.

0,[14] * 100 = 14,[14]

14,[14] - 1/100 = 14

somit ist 0,[14] als Bruch 14/99.

Und demnach ist es auch kein Grenzwert, 0,[9] ist genau 1.


Jan
phil Auf diesen Beitrag antworten »

sehr interessant...
aber der ausdruck "Darstellungsfehler" gefaellt mir irgendwie nicht... fehler in der mathematik - pah Augenzwinkern

vielleicht kann man das so sehen:
(der einfachheit halber ist das jetzt ein beispiel warum 1= 0.111... im binaersystem ist)

zahen sind wie ein computer der unendlich viele speicherplaetze hat.
ist der erste speicherplat ist mit 0 belegt, schaltet der computer diesen genau dann auf 1 um, wenn alle anderen speicherplaetze mit 1 belegt sind. die einser werden dann auf null zurueckgesetzt.

also gibt es immer genau dann zwei darstellungsweisen, wenn der computer grad am schalten ist.
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

also es ist doch irgendwo noch ein unterschied, ob man sagt, die mathematik hätte einen fehler, oder es kann nicht richtig dargestellt werden.
also wenn ichs bis jetzt nicht verstanden hätte wäre mir das mit dem binärsystem auch nicht klarer geworden Augenzwinkern

@deHoeninger:
davor müsste man aber nochmal beweisen, dass 1/10=0,0[9] :P
deHoeninger Auf diesen Beitrag antworten »

ok, "Darstellungsfehler" ist etwas krass ausgedrück, es ist ja kein Fehler, schließlich haben alle drei Darstellungsformen den selben Wert.

Sagen wir also einfach, es sind unterschiedliche Darstellungsformen. Die, allgemein Bertrachtet, einen anderern Schluss vermuten lassen.

Ist das besser Big Laugh
phil Auf diesen Beitrag antworten »

@alpha 0.999... ist meiner meinung nach eine richtige darstellung fuer eine zahl
@deHoeninger: alles klar Augenzwinkern
deHoeninger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alpha

@deHoeninger:
davor müsste man aber nochmal beweisen, dass 1/10=0,0[9] :P



ist es, doch eine faktorisierung mit 10 bedeutet einfach eine verschiebung des kommas um eine Stelle nach recht. Der Wert des Produktes ist also um das 10 Fache gestiegen.

auf 9,[9]

soweit ist das doch logisch.

demnach ist 0,[9] genau 1/10 von 9,[9].

Zieht man dieses 1/10 ab, so erhält man als Wert 9 was ja genau nur noch 9/10 der ursprünglichen 9,[9] entspricht und somit 9 genau das 9fache von 0,[9] ist.

Daraus folgt durch 9 geteilt 1.


So und welche Stelle ist dort nicht genau Bewiesen ist doch einfach nur eine Umforung eines Thermes nach bekannten Regeln.
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam langsam langsam!

geschockt

so viel antworten hätte ich gar nicht erwartet. leider hab ich jetzt keine zeit, die genauer durchzulesen, aber was ich gelesen habe, überreiße ich so einigermaßen.

- die idee, dass 1/3 eigentlich auch der grenzwert von 0,[periode]3 ist, ist gut.

@alpha auch das mit dem 1/unendlich = 0 ist klasse, da ich diesen Grenzwertbeweis aus der Differentialrechnung kenne.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematisch gesehen ist die Erklärung mit der Reihe korrekt.

Die Anschauung versagt eben nur, weil es schwer ist, sich die unendlich vielen Neuner vorzustellen. Aber es fehlt nix bis hin zur eins, da es ja eben unendlich viele Neuner sind.

In der Schule wollte ich´s unserem Lehrer aber auch nicht glauben Wink
Er hat mich allerdings mit dem 1/9-Argument entkräftet unglücklich

Gruß vom Ben
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Mittlerweile habe ich alle Antworten durchgegangen. 8)
Danke für so viel feedback, da sind einige einleuchtende Erklärungen drin.

- bloß aus irgendeinem Grund will nicht in meinen Kopf, dass 1 der EIGENTLICHE Grenzwert von 0,[9] ist X(
Naja, aber da es über die 1/3-Lösung eigentlich bewiesen ist, muss ich es wohl ohne es zu verstehen glauben... geschockt :P
deHoeninger Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich finde die Formulierung Grenzwert auch nicht schön. Ist dieser doch eingendlich immer nur eine Annäherung und das impliziert doch eine Ungenauigkeit und damit will man jetzt beweisen das die Zahl genau 1 ist.

Na ja, wie wir gesehen haben es gibt schönere Verfahren dies zu beweisen.

Jan
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Ob eine Limesberechnung nun Ungenau ist, oder nicht, liegt im Auge des Betrachters. Meiner Ansicht nach ist z. B. e oder Pi relativ genau. Anderes Bleistift: bei Parabeln. Ist der Grenzwert oo genau oder nicht?
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

oo is keine (richtige) Zahl, deshalb uneigentlicher grenzwert. Und wie will man oo genau oder ungenau darstellen?
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt wow. darüber hab ich noch gar nicht genauer nachgedacht1 geschockt
aber bleifischsweise e kann man ja nahezu beliebig genau ausrechnen, oder?
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

kommt darauf an, wie du "genau" definierst. Die Zahl e hat ja einen konkreten Zahlenwert, oo dagegen nicht. und du kannst e mit 2, 10 oder 10^6 stellen ausrechen. Aber in Bezug zu den unendlichvielen Stellen von e is das einfach nur ein winziger klitschko-kleiner Teil.

Außerdem kann ich zu oo auch nochmal oo addieren und es bleibt oo. smile

Falls du denn mal für oo eine Zahl berechnet hast, dann kannste mir ja auch die letzte Nachkommastelle von e nennen. :P
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Falls du denn mal für oo eine Zahl berechnet hast, dann kannste mir ja auch die letzte Nachkommastelle von e nennen.

- bitte nicht zynisch werden! :rolleyes: Augenzwinkern

hat jetzt weniger was damit zu tun:

übrigens, zumindest mir, hilft es, mir oo als undefinierte, unheimlich große Zahl vorzustellen (klar), und mir dann bei irgendeiner Grenzwertberechnung z.B. oo * 5 eine noch 5mal so große Zahl vorzustellen. Klingt zwar, rein mathematisch gesehen, etwas grotesk, weil 5*oo = oo, aber mir hilft es manchmal schon, um im Unendlichen den Überblick zu behalten.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von deHoeninger
Hmm ich finde die Formulierung Grenzwert auch nicht schön. Ist dieser doch eingendlich immer nur eine Annäherung und das impliziert doch eine Ungenauigkeit und damit will man jetzt beweisen das die Zahl genau 1 ist.


Das kann man so nicht sagen. Der Grenzwert einer Reihe ist, (nehmen wir der Einfachkeit halber mal an, er ist endlich) genau, einfach weil die Reihe unendlich viele Glieder hat. "Ungenau" wird es erst, wenn du eine endlich Auswahl der Reihenglieder betrachtest.

Gruß vom Ben
jama Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gust
Klingt zwar, rein mathematisch gesehen, etwas grotesk, weil 5*oo = oo, aber mir hilft es manchmal schon, um im Unendlichen den Überblick zu behalten.

wenn´s dir hilft Augenzwinkern normalerweise kann man rechenoperationen mit oo nicht mit zahlen verbinden.
sieht man ja auch an:

5*oo = oo => f.A. Big Laugh
phil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Das kann man so nicht sagen. Der Grenzwert einer Reihe ist, (nehmen wir der Einfachkeit halber mal an, er ist endlich) genau, einfach weil die Reihe unendlich viele Glieder hat. "Ungenau" wird es erst, wenn du eine endlich Auswahl der Reihenglieder betrachtest.

Gruß vom Ben


aber genau das wollen wir ja beweisen, und deshalb koennen wir es ja schlecht selbst im beweis verwenden.
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jama
normalerweise kann man rechenoperationen mit oo nicht mit zahlen verbinden.
sieht man ja auch an:
5*oo = oo => f.A. Big Laugh


Warum nicht? Die einzigen Operation die verboten sind, sind oo-oo, 0*oo, oo^0 und oo/oo. 1^oo ist auch nicht so gut. Genau so a^oo für a<=-1. Das meiste Andere liefert eigentlich eindeutige Ergebnisse..
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

1^oo = e , oder?

oo^0 >< 1 ????
jama Auf diesen Beitrag antworten »

ausnahmen bestätigen die regeln. auch wenn es in dem fall ein paar mehr ausnahmen gibt. was aber widerum die regel "ausnahmen bestätigen die regeln" bestätigt ....
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher nicht @Gust.
lim n->oo (1+2/n)^n=exp(2) und nicht exp(1), obwohl es ein Grenzwert der Form 1^oo ist.
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