existenz der grenzwerte beweisen

05.12.2004, 23:00

MikeWayne

existenz der grenzwerte beweisen

hi leute ich muss die folgende funktion untersuchen, ob die grenzwerte für $\begin{eqnarray*} x -> \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x -> - \infty \end{eqnarray*}$ existieren und sie dann berechnen.
soweit bin ich bis jetzt gekommen. Aber wie mach ich das mit $\begin{eqnarray*} x -> - \infty \end{eqnarray*}$ ?
danke schon mal im voraus

05.12.2004, 23:05

MikeWayne

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$\begin{eqnarray*} f mit f(x)= \frac{3x^4 + 8x^2 - 4}{2 - 3x^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lim x->\infty \frac{x^4 (3 + 8/x^2 - 4/x^4)}{x^4 (2/x^4 - 3)} = -1 \end{eqnarray*}$

05.12.2004, 23:11

Mathespezialschüler

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Genau so!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} \frac{x^4\cdot (3 + \frac{8}{x^2} - \frac{4}{x^4})}{x^4\cdot (\frac{2}{x^4} - 3)}=\lim_{x\to -\infty} \frac{3 + \frac{8}{x^2} - \frac{4}{x^4}}{\frac{2}{x^4} - 3} \end{eqnarray*}$

Und jetzt lässt du einfach wieder x gegen -unendlich laufen! Augenzwinkern

05.12.2004, 23:13

MikeWayne

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soll ich da irgendwas einsetzen? es kommt doch dasselbe ergebnis raus.

05.12.2004, 23:16

Mathespezialschüler

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Richtig, es kommt dasselbe Ergebnis raus. Sind wir doch fertig oder?? Augenzwinkern

05.12.2004, 23:17

MikeWayne

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ok, aber was ergibt es dann für einen sinn, limes gegen minus unendlich auszurechnen wenn man sowieso weiß, dass dort dasselbe ergebnis rauskommt.

05.12.2004, 23:20

Mathespezialschüler

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naja, mit Sinn is das sone Sache. Man weiß das ja vorher nich, vielleicht will man was überprüfen. Oder man will einfach wissen, wie sich der Graph "links" verhält ...

06.12.2004, 00:00

MikeWayne

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dankeschön. Ich hab hier noch ne aufgabe.
$\begin{eqnarray*} g(x)= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lim x-> \infty \frac{1}{x^2 + x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = lim x-> \infty \frac{1}{x^2(1+1/x)} \end{eqnarray*}$
entweder ich hab hier etwas falsch ausgeklammert oder diese funktion strebt gegen unendlich. Aber ich weiß nicht, wie ich dies weiter zeigen soll.

06.12.2004, 00:29

Mathespezialschüler

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Also erstmal falsch umgeformt:

$\begin{eqnarray*} g(x)= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2+x} \end{eqnarray*}$

Der Nenner wird unendlich groß, was passiert also mit dem gesamten Bruch (das geht nicht gegen unendlich!!!!!).

06.12.2004, 00:45

MikeWayne

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oh, danke für die verbesserung. Strebt dann die funktion gegen minus unendlich?

06.12.2004, 09:55

Deakandy

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Was kommt denn bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1000000000000000000000000} \end{eqnarray*}$ ungefähr raus?

06.12.2004, 23:37

MikeWayne

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alles klar, dankeschön, also strebt die funktion gegen 0, erreicht 0 jedoch nie.

07.12.2004, 14:44

Gast

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Genauso!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} \frac{x^4\cdot (3 + \frac{8}{x^2} - \frac{4}{x^4})}{x^4\cdot (\frac{2}{x^4} - 3)}=\lim_{x\to -\infty} \frac{3 + \frac{8}{x^2} - \frac{4}{x^4}}{\frac{2}{x^4} - 3} \end{eqnarray*}$

Und jetzt lässt du einfach wieder x gegen -unendlich laufen! Augenzwinkern

Das darfst Du so nicht aufschreiben!
Lass doch denn Limes zunächst mal weg, denn erst muß die Existenz des Grenzwerts gesichert sein:

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{x^4\cdot (3 + \frac{8}{x^2} - \frac{4}{x^4})}{x^4\cdot (\frac{2}{x^4} - 3)}=\frac{3 + \overbrace{\frac{8}{x^2} - \frac{4}{x^4}}^{\longrightarrow0}}{\underbrace{\frac{2}{x^4}}_{\longrightarrow 0} - 3}\Rightarrow \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1 \end{eqnarray*}$

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