Exponentialfunktion ableiten

21.04.2007, 10:40

Tomatonno

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Exponentialfunktion ableiten

Hallo Leute,

folgende Funktion soll abgeleitet werden:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(\frac{1}{x})} \end{eqnarray*}$

In meinem Tafelwerk habe ich hier Ableitungen elementarer Funktionen gefunden und da steht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}*ln(a) \end{eqnarray*}$

Heißt dann die Ableitung der oben genannten Funktion:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2^{sin(\frac{1}{x})}*ln(2) \end{eqnarray*}$

Oder ist das nicht so einfach wie ich mir das denke?

Edit: sin(1/2) wurde durch sin(1/x) ersetzt.

21.04.2007, 11:00

Mazze

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Zitat:

Oder ist das nicht so einfach wie ich mir das denke?

$\begin{eqnarray*} 2^{sin(\frac{1}{2})} \end{eqnarray*}$ ist eine konstante Funktion, und die abgeleitet ist 0. Meinst Du nicht vielleicht eher

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(\frac{1}{2}x)} \end{eqnarray*}$

?

21.04.2007, 11:01

n00ki3

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RE: Exponentialfunktion ableiten

Zitat:

Original von Tomatonno
$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(\frac{1}{2})} \end{eqnarray*}$

meinst du etwa $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ ,weil das sonst ein konstanter Faktor ist und die Ableitung = 0 wär .

21.04.2007, 11:01

derkoch

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RE: Exponentialfunktion ableiten

Zitat:

Original von Tomatonno
Hallo Leute,

folgende Funktion soll abgeleitet werden:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(\frac{1}{2})} \end{eqnarray*}$

In meinem Tafelwerk habe ich hier Ableitungen elementarer Funktionen gefunden und da steht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}*ln(a) \end{eqnarray*}$

Heißt dann die Ableitung der oben genannten Funktion:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2^{sin(\frac{1}{2})}*ln(2) \end{eqnarray*}$

Oder ist das nicht so einfach wie ich mir das denke?

Ist sogar noch einfacher als du es dir vorgstellt hast!

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(\frac{1}{2})}= Konstante \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Es sei du hast irgendwo ein x vergessen! verwirrt

verwirrt

verwirrt

Also nochmal schauen ob das die gewünsche Funktion ist! Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.04.2007, 11:07

riwe

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RE: Exponentialfunktion ableiten
$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(\frac{1}{2})} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

geht man davon aus

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

so hast du mit

$\begin{eqnarray*} lny=sin\frac{x}{2}\cdot ln(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y^\prime}{y}=\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}\cdot ln(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^\prime=y\cdot\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}ln(2) \end{eqnarray*}$

und nun für y einsetzen

werner

21.04.2007, 11:08

Tomatonno

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Ach herje, ich hätte nicht so früh aufstehen sollen. Nicht sin(1/2) sondern sin(1/x).

Werde meinen 1. Post editieren und berichtigen!

Sorry nochmal.

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21.04.2007, 11:15

Frooke

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Dann ist es

$\begin{eqnarray*} \left(2^{\sin \frac{1}{x}}\right)' = \left(2^{\sin \frac{1}{x}}\right)\ln 2\cdot \left(\frac{1}{x}\right)' \end{eqnarray*}$

21.04.2007, 11:15

Tomatonno

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Also Werners "logarithmir-Vorschlag" funktioniert in meinem Fall ja immer noch.

Ist das der einzigste Weg? Sprich wie leitet man standardmäßig Exponentialfunktionen mit "variablenfreier Basis" und der abzuleitenden Variable im Exponenten ab?

21.04.2007, 11:18

Tomatonno

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@Frooke

kannst du kurz erklären woher das kommt? Irgendwas mit Kettenregel oder?

21.04.2007, 11:36

derkoch

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Zitat:

Original von Tomatonno
@Frooke

kannst du kurz erklären woher das kommt? Irgendwas mit Kettenregel oder?

$\begin{eqnarray*} f(x) = a^x= e^{ln(a^x)}= e^{x\cdot ln(a)} \end{eqnarray*}$

21.04.2007, 11:54

Tomatonno

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Mhhh, ok, aber wie werner dann auf das Ergebnis kommt ist mir nicht klar.

Ich fang mal an:

Also ich kann

$\begin{eqnarray*} f(x)=2^{sin(\frac{1}{x})} \end{eqnarray*}$

umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{sin(\frac{1}{x})*ln(2)} \end{eqnarray*}$

Soweit ist mir das klar. Na und jetzt würde ich ganz "normal" ableiten. Äußere * Innere, und hinten Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{sin(\frac{1}{x})*ln(2)} * (cos\frac{1}{x}* (-x^{-2}))*ln(2) + (\sin( \frac{1}{x})* \frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Aber das ist ja was anderes als werner hat, also wo liegt mein Problem?

21.04.2007, 11:56

Mazze

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Zitat:

Aber das ist ja was anderes als werner hat, also wo liegt mein Problem?

Du hast die Produktregel angewendet wo sie nicht angewendet wird. ln(2) ist eine Konstante.

21.04.2007, 12:08

Tomatonno

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Stimmt :-)

Gut, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= (2^{sin(1/x)})*ln2*cos(1/x)*(-x^{-2)} \end{eqnarray*}$

Kann es sein das bei werners Lösung das cos fehlt. Also ist meins richtig?

21.04.2007, 12:13

derkoch

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Zitat:

Original von Tomatonno
Stimmt :-)

Gut, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= (2^{sin(1/x)})*ln2*cos(1/x)*(-x^{-2)} \end{eqnarray*}$

Kann es sein das bei werners Lösung das cos fehlt. Also ist meins richtig?

wener ist ja auch von einer etwas anderen Funktion ausgegangen! smile

smile

( Aber da fehlt auch nix!)

21.04.2007, 12:20

Tomatonno

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Ich meinte Frooke. Weil da steht ja das selbe was ich raus habe nur ohne das cos.

Also ist meins falsch ja? Hab grade nochmal und nochmal gerechnet. Ich meine eigentlich das meins richtig ist Big Laugh

Big Laugh

Kann das jemand bestätigen?

21.04.2007, 12:23

derkoch

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Ja, bei Frooke fehlt der cos(..),( Tippfehler!) smile

smile

!
Ja dein Ergebnis ist richtig!

21.04.2007, 12:34

Tomatonno

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Puhh, das war eine Geburt. Danke an alle Freude

Freude

21.04.2007, 18:28

Frooke

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Ja sorry, das war sogar ein Flüchtigkeitsfehler (mannomann...) Sorry!

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