Basis von Q-Untervektorraum

21.04.2007, 13:40	Dodo	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Q-Untervektorraum Hallo, ich bräuchte mal eure Hilfe in Bezug auf eine Aufgabe, dessen Begriffsterminologie mir nicht ganz klar erscheint: Sei $\begin{eqnarray} \alpha :=-\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{3}\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und sei V der von $\begin{eqnarray} \{1,\alpha, \alpha^{2}, \alpha^{3}, ...\} \end{eqnarray}$ erzeugte $\begin{eqnarray} \mathbb Q -Untervektorraum.von \mathbb R \end{eqnarray}$ (a) Zeigen Sie, dass der $\begin{eqnarray} rang_{\mathbb Q}V=2 \end{eqnarray}$ und dass $\begin{eqnarray} \{1,\alpha\} \end{eqnarray}$ von V ist. (b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{\alpha}\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und berechnen sie den Koordinatenvektor $\begin{eqnarray} \frac{1}{\alpha} \end{eqnarray}$ bzgl. der geordenten Basis $\begin{eqnarray} (1,\alpha) \end{eqnarray}$ von V. (c) Zeigen Sie, dass V ein Teilkörper von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist, mit $\begin{eqnarray} \mathbb Q\leq\mathbb R \end{eqnarray}$ (soll Teilmenge bedeuten) Würde mich über Tipps erfreuen, denn ich komme nicht mit klar, das Alpha aus den Reellen Zahlen, aber doch V ein Q_Untervektorraum sein soll. MFG Dodo
21.04.2007, 17:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne einmal $\begin{eqnarray} \alpha^2 \end{eqnarray}$ und vereinfache. Löse dann $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \, \sqrt{3} \end{eqnarray}$ auf und setze in $\begin{eqnarray} \alpha^2 \end{eqnarray}$ ein. Dies zeigt dir, daß sich $\begin{eqnarray} \alpha^2 \end{eqnarray}$ und damit auch die höheren Potenzen von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , kurzum: alle Erzeugenden von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , als $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ -Linearkombination von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ schreiben lassen. Also ist bereits $\begin{eqnarray} \left\{ 1 , \alpha \right\} \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Bleibt also noch die lineare Unabhängigkeit nachzuweisen.

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