Aussagen zur linearen Abhängigkeit - Bitte überprüfen |
| 21.04.2007, 13:52 | Peter V. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aussagen zur linearen Abhängigkeit - Bitte überprüfen ich soll in Mathe ein "Lernheft" zur Vektorrechnung erstellen und habe nun ein paar Fragen zur linearen Abhängigkeit etc. , und würde euch bitten die unten aufgeführten Aussagen zu überprüfen: Zwei Vektoren und sind genau dann linear abhängig , wenn gilt: , bzw. und k jeweils eine eindeutig bestimmte reelle Zahl ist, die Vektoren und sind folglich Vielfache voneinander. Dieses k ist aber nur dann eindeutig zu bestimmen, die Vektoren und sind also auch nur dann Vielfache voneinander, wenn die beiden Vektoren parallel sind, oder auf einer Geraden liegen. Die beiden Vektoren sind kollinear. Sind sie nicht parallel und/oder liegen nicht auf einer Geraden, gibt es keine eindeutig bestimmte reelle Zahl k, die die Gleichungen erfüllt. Zwei oder Mehr Punkte sind kollinear, wenn sie auf einer geraden liegen. n Nichtparallele Vektoren und n Vektoren, die nicht auf einer Geraden liegen sind allerdings auch dann linear abhängig , wenn mindestens einer der Vektoren durch die Linearkombination der anderen ausgedrückt werden kann. D.h. desweiteren, dass man mindestens drei Vektoren benötigt, die in einer Ebene liegen und "zusammenhängen" ( Sie z.B. ein Dreieck bilden oder in einem Punkt entspringen und dabei in einer Ebene liegen [vgl.Kräfteparallelogramm] ). Liegen sie in einer Ebene und hängen nicht zusammen, sind sie linear unabhängig. Bei mehr als drei Vektoren müssen diese nicht mehr unbedingt in einer Ebene liegen, doch noch immer "zusammenhängen" ( Man denke z.B. an eine Pyramide bei der jede Seite ein Vektor ist. Einfach gesagt sind Vektoren dann linear abhängig, wenn man einen Vektor durch "ablaufen" verschiedener anderer Vektoren, bzw. deren Vielfache ausdrücken kann. ). Desweiteren sind Vektoren genau dann linear abhängig, wenn ihre Summe den Nullvektor ergeben kann, ohne dass alle Linearfaktoren vor den einzelnen Vektoren der Summation gleich null sind, es muss also eine nichttriviale Nullsume existieren. Komplanar sind Vektoren, die in einer Ebene liegen. Zwei Vektoren sind immer komplanar, jedoch nicht unbedingt linear abhängig. Eine Gerade heißt komplanar zu einer Ebene, wenn sie zu ihr parallel ist oder in ihr enthalten ist. Die Richtungsvektoren der Gerade und der Ebene sind dann linear abhängig. Sind diese Aussagen richtig, gibt es noch Etwas, dass man bedenken und ergänzen sollte? |
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| 21.04.2007, 14:22 | cleverclogs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aussagen zur linearen Abhängigkeit - Bitte überprüfen
Zwei Punkte liegen IMMER auf einer Geraden! |
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| 21.04.2007, 14:33 | Peter V. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß, war nur zu faul zu differenzieren 
________________________ Ist denn sonst alles richtig oder sollte ich noch was ergänzen oder habe ich irgendwo Quatsch geschrieben? [ModEdit: Keine Doppelposts bitte, dazu hast du die Edit-Funktion!] *Zusammengefügt* |
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| 21.04.2007, 14:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Das mit dem Faktor k ist ok. Bei Punkten gibt es keine Kollinearität, das ist nur bei Vektoren sinnvoll. Wenn drei Punkte auf einer Geraden liegen, dann sind die aus diesen Punkten gebildetetn Vektoren kollinear. 2 Punkte liegen immer auf einer Geraden, das hat mit Kollinearität aber nichts zu tun. Die Faktoren vor den einzelnen Vektoren heissen nicht Linearfaktoren, sondern sind konstante reelle Zahlen. mY+ |
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| 21.04.2007, 14:58 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was sind denn parallele Vektoren? 
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| 21.04.2007, 22:44 | cleverclogs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vektoren die parallel sind
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| 21.04.2007, 22:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hahaha ich lach mich tot. 
Für mich sind Vektoren Elemente eines Vektorraums. Die sind linear abhängig oder unabhängig. Parallel gibt's da nicht. In der analytischen Geometrie kann man gerne sagen, dass 2 parallele Geraden, linear abhängige Richtungsvektoren haben, aber zu parallelen Vektoren hätte ich dann gerne mal die Definition gesehen. |
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| 22.04.2007, 00:16 | cleverclogs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hast Du ein englisches Humor! 
Guck mal in Google: da gibt es 494000 Beiträge; natürlich hast Du aber recht - Vektoren sind parallel verschiebar. Ob man in parallel Vektoren glaubt oder nicht ist was anders - passt zu Sontagg, oder? 
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| 22.04.2007, 00:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also von einem Lehrer hätte ich bei der Frage nach der Definition schon etwas mehr erwartet als Google. Ich finde nämlich dass die Schüler, dass was sie da so oft als in ihr Koordinatensystem einzeichnen mit einem Vektor verwechseln. Es handelt sich jedoch um einen Repräsentanten einer Vektorklasse. Natürlich betrachte ich Vektoren wie gesagt aus dem Augenwinkel der Linearen Algebra. Wenn Du mir ein sinnvolles System nennen kannst, indem auch der Begriff "parallele Vektoren" definiert sind, will ich meine Meinung gern ändern. Bislang bleibe ich aber dabei, dass es sowas nicht gibt. Da der Threadsteller hier die Begriffe ja erklären soll, war meine Frage keine Scherzfrage 
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