diskret => abzählbar?

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Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »
diskret => abzählbar?
Moin,

stimmt es, dass diskrete Teilmengen eines metrischen Raums abzählbar sind und wenn ja, gibt es einen einfachen Beweis dafür?

Die Gegenrichtung stimmt ja nicht, da zwar abzählbar, aber nicht diskret ist.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: diskret => abzählbar?
Zitat:
Original von Takeshi
stimmt es, dass diskrete Teilmengen eines metrischen Raums abzählbar sind und wenn ja, gibt es einen einfachen Beweis dafür?


Was möchtest du unter einer diskreten Teilmenge verstehen ?

Grüße Abakus smile
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wohl, dass jeder Punkt der Teilmenge offen ist.
Dann stimmt es nicht, man betrachte einfach eine überabzählbare Menge mit der diskreten Metrik.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Wohl, dass jeder Punkt der Teilmenge offen ist.


Dann wäre nach deiner Definition in mit der euklidischen Topologie aber nicht diskret, was es aber sein sollte.

Grüße Abakus smile
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ich meinte offen bezüglich der Unterraumtopologie.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Stimmt, ich meinte offen bezüglich der Unterraumtopologie.


Das wäre eine Möglichkeit.

Dann kann eine solche diskrete Menge Häufungspunkte haben, die nicht zur Menge gehören (euklidische Topologie hier als Grundlage): zB wähle die Menge der Folgenglieder von . Die Hinzunahme der 0 würde dann die Eigenschaft "diskret" zerstören, weil {0} nicht offen wäre, d.h. die Vereinigung diskreter Mengen wäre nicht diskret.

Grüße Abakus smile
 
 
Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Wohl, dass jeder Punkt der Teilmenge offen ist.

Ein Punkt kann nie offen sein, nur eine Menge.

Eine Menge heißt diskret, wenn sie nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Folgerung davon ist natürlich, dass jede Teilmenge offen ist.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Frage ganz oben hat gast1 beantwortet dann, du brauchst bloß einen geeigneten diskreten Raum betrachten und hast ein Gegenbeispiel.

Grüße Abakus smile
Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich sehe ein, dass meine erste Aussage falsch ist. Aber wenn ich eine diskrete Teilmenge des mit der euklidischen Metrik betrachte, ist die dann abzählbar?
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dies gilt sogar für jeden zweitabzählbaren Raum X. Ist nämlich eine Basis der Topologie auf X für eine abzählbare Menge I und ist eine diskrete Teilmenge, so existiert für jeden Punkt x von D ein i aus I mit . Unter Verwendung des Auswahlaxiomes kann man so eine injektive Abbildung definieren und wir erhalten also, dass D abzählbar sein muss.
Es kann aber sein, dass ich jetzt zu kompliziert denke.
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