komplexe zahlen

21.04.2007, 16:43

meli05

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komplexe zahlen

hallöchen,

ich bin grade an folgenden aufgaben:

Stellen Sie in der Form a+ib dar:

1) $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{1-i} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} (6-5i+\frac{1+5i}{1+i} )\cdot \frac{1}{3i} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} (1-i)^{14} \end{eqnarray*}$

bei 1) habe ich raus

1+i

bei 2)

habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{1+5i}{1+i} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und kam auf 3+2i => $\begin{eqnarray*} 1/3i (6-5i+3+2i) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 1/3i (9-3i) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 3i-1 \end{eqnarray*}$

kann das sein? und wie rechne ich 3) ??

danke schonmal !

lg
meli

21.04.2007, 16:49

integralschokolade

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Aufgaben 1) und 2) sind richtig! Bei 3) benutzst du die binomische
Formel $\begin{eqnarray*} (1-i)^{n} = \sum_{k=0}^{n} (n|k) 1^{n-k} (-i)^{k} \end{eqnarray*}$ mit n = 14
Dann geht das schon.

21.04.2007, 17:03

therisen

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3) kann man aber auch wesentlich effizienter ausrechnen: Es ist $\begin{eqnarray*} (1-i)^2 = -2i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (1-i)^{14} = (-2i)^7 \end{eqnarray*}$ . Du musst dir also nur noch Gedanken über das $\begin{eqnarray*} i^7 \end{eqnarray*}$ machen (was sehr einfach ist).

Der binomische Lehrsatz gefällt dir glaube ich sehr gut, integralschokolade, wenn ich mich richtig an ein paar deiner früheren Beiträge erinnere Wink

Wink

Gruß, therisen

21.04.2007, 17:23

meli05

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ich danke euch, laut meiner lösung sollte bei 2) -1-3i rauskommen ?! warum?

zu 3) also $\begin{eqnarray*} i^7 \end{eqnarray*}$ grade bei google geschaut ist -i (warum?)
damit müsste dann $\begin{eqnarray*} (-2i)^7=128i \end{eqnarray*}$ rauskommen oder?

was ganz anderes ich soll den betrag von:

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/5.2/gifs/img5.2.2.a.gif

berechnen? wie mach ich das nun wieder? smile

smile

ich danke euch beiden für die super schnellen antworten !!

lg
meli

21.04.2007, 17:33

therisen

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$\begin{eqnarray*} i^2=-1 \Rightarrow i^7=i\cdot i^6=i\cdot(i^2)^3=\dots \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis stimmt.

$\begin{eqnarray*} \frac{9-3i}{3i} = \frac{3-i}{i} \end{eqnarray*}$ und jetzt erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

Um den Betrag zu berechnen musst du deine komplexe Zahl in die Form a+bi bringen. Und dann einfach die Definition des Betrages anwenden.

Gruß, therisen

21.04.2007, 18:06

meli05

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ah ok danke jetzt ist mir das klar smile

smile

zu dem betrag

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/5.2/gifs/img5.2.2.a.gif

ich hab da raus = 1+i

betrag ist dann 1 oder wie?

dann hab ich folgende aufgabe:

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/5.2/gifs/img5.2.2.c.gif

wie bringe ich diese auf die form a+ib?

es könnte auch sein, dass es (3i-4)/cos(pi/9)-i sin(pi/9) heißt, denn einmal stehts so wie oben auf meinem blatt in der lösung aber so? Betrag sollte auf jeden fall 5 rauskommen...

ich weiß nur nicht wie ich das mache mit diesem sinus und cos...

lg
meli

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21.04.2007, 18:28

therisen

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Na, $\begin{eqnarray*} |1+i|=\sqrt{1+1} = \dots \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \cos \frac{\pi}{9} \end{eqnarray*}$ ist genauso eine reelle Zahl wie es $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ auch ist, d.h. rechne ganz normal (ausklammern usw.) und wende dann den Betrag an.

Gruß, therisen

21.04.2007, 19:02

meli05

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hab jetz mal drauflos gerechnet...

$\begin{eqnarray*} (3i-4)\cdot(cos(\frac{\pi}{9}) - isin(\frac{\pi}{9})) \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} 3icos(\frac{\pi}{9})+3sin(\frac{\pi}{9})-4cos(\frac{\pi}{9})+4isin(\frac{\pi}{9})) \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} 3(icos(\frac{\pi}{9})+sin(\frac{\pi}{9}))-4(cos(\frac{\pi}{9})-isin(\frac{\pi}{9})) \end{eqnarray*}$

un jetz? unglücklich

unglücklich

21.04.2007, 19:09

therisen

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Zitat:

Original von meli05
$\begin{eqnarray*} (3i-4)\cdot(cos(\frac{\pi}{9}) - isin(\frac{\pi}{9})) \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} 3icos(\frac{\pi}{9})+3sin(\frac{\pi}{9})-4cos(\frac{\pi}{9})+4isin(\frac{\pi}{9})) \end{eqnarray*}$

Und jetzt aufspalten:

$\begin{eqnarray*} 3\sin\frac{\pi}{9}-4\cos\frac{\pi}{9} + \left(3\cos\frac{\pi}{9}+4\sin\frac{\pi}{9} \right)\cdot i \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

22.04.2007, 14:19

meli05

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vielen dank jetzt hats geklappt Mit Zunge

Mit Zunge

bin nun bei folgenden aufgaben:

Für welche komplexen Zahlen sind die folgenden Gleichungen erfüllt:
Stellen Sie die Lösungen als Kurven in der komplexen Zahlenebene dar.

a) $\begin{eqnarray*} lm(z^2)=2 \end{eqnarray*}$
b)

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/5.2/gifs/img5.2.3.b.gif

wie mach ich jetzt sowas? Ich weiß nicht was dieses Im und Re ist?! unglücklich

unglücklich

mfg
meli

22.04.2007, 14:39

therisen

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Hallo,

Im steht für den Imaginärteil und Re für den Realteil.

Gruß, therisen

22.04.2007, 14:52

mYthos

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Ist Schulstoff, daher

*verschoben*

mY+

22.04.2007, 14:54

meli05

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also es gilt ja z = x + iy

wenn ich das jetzt einsetze in $\begin{eqnarray*} Im(z^2)=2 \end{eqnarray*}$

sieht das dann so aus?:

$\begin{eqnarray*} (x+iy)^2=2 \end{eqnarray*}$

mir ist nicht klar wie ich diesen Im jetzt wegbekomme, der Im von z ist doch y?

danke für die hilfe!

mfg
meli

22.04.2007, 17:14

mYthos

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Nein, das ist so nicht richtig!
Zuerst bestimmst du das Quadrat, das hat ja wieder einen Real- und Imaginärteil! Und NUR dessen Imaginärteil ist 2!

Klar?

mY+

22.04.2007, 18:27

meli05

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ich verstehs nicht unglücklich

unglücklich

muss ich nun z^2 sprich (x+iy)^2 ausrechnen und dann den imaginärteil mit 2 gleichsetzen oder statt z^2 nur den imaginärwert sprich y einsetzen`?

22.04.2007, 22:07

TommyAngelo

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Die Potenzen mit i kann man sich ganz leicht merken:

Bei: $\begin{eqnarray*} i^n \end{eqnarray*}$
gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} n \ mod \ 4 = 0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} i^n=1 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} n \ mod \ 4 = 1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} i^n=i \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} n \ mod \ 4 = 2 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} i^n=-1 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} n \ mod \ 4 = 3 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} i^n=-i \end{eqnarray*}$

EDIT: Kann man denn mit Latex keine Abstände machen?

[Modedit: Kann man! Sieh' dir den Code an! Wozu allerdings hier? Das könntest du auch in normalem Text schreiben: n mod 4 = 0 ...]

23.04.2007, 03:50

mYthos

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Zitat:

Original von meli05
ich verstehs nicht unglücklich

unglücklich

muss ich nun z^2 sprich (x+iy)^2 ausrechnen und dann den imaginärteil mit 2 gleichsetzen oder statt z^2 nur den imaginärwert sprich y einsetzen`?

Ersteres. Das habe ich (hoffentlich) deutlich erklärt, oder?

x + iy ausquadrieren $\begin{eqnarray*} \to x^2 - y^2 + 2xyi \end{eqnarray*}$

So! Den Imaginärteil dieses Ergebnisses setzen wir 2.
Dann musst du noch die Beziehung in b) entsprechend auswerten (setze für $\begin{eqnarray*} z^* = x - iy \end{eqnarray*}$ ), somit sind zwei Gleichungen in x, y entstanden, die es aufzulösen gilt.

[Kontr.: z = 1 + i]

@Tommy

Deine Antwort trifft absolut nicht den Kern der Frage!
Und: Leerstellen in LaTex mittels \, sh. ModEdit

mY+

23.04.2007, 17:18

meli05

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ok

smile

danke!

ich hab nun nur den Im genommen und mit 2 gleichgesetzt:

$\begin{eqnarray*} -y^2+2y=2 \end{eqnarray*}$
=>y1=1-i
y2=1+i

wie komme ich nun auf die komplexe zahl?

z=x+yi

y nun einsetzen oder wie?

danke für deine gedult!

lg
meli

23.04.2007, 23:03

mYthos

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Meli,

du hast das leider noch immer nicht auf der Reihe. Der Imaginärteil von

$\begin{eqnarray*} x^2 - y^2 + 2xyi \end{eqnarray*}$

ist NUR der Koeffizient, also dieser Faktor, der bei i steht, demzufolge einfach 2xy. Daher bekommst du als erste Gleichung

1.: 2xy = 2

Zur zweiten Gleichung: Die gesuchte komplexe Zahl ist ja z = x + iy.

Laut Angabe ist $\begin{eqnarray*} Re(z) = Re(i \cdot z^* - z^2) \end{eqnarray*}$

Daher musst du zunächst $\begin{eqnarray*} i \cdot z^* - z^2 \end{eqnarray*}$ berechnen, davon den Realteil nehmen und diesen gleich dem Realteil von z (das ist x) setzen.

$\begin{eqnarray*} i \cdot z^* - z^2 = i \cdot (x - iy) - (x + iy)^2 = \ldots \end{eqnarray*}$

2. Gleichung:

2.: x = Realteil von dem Ergebnis da rechts ....

Aber jetzt!

mY+

25.04.2007, 23:13

meli05

Auf diesen Beitrag antworten »

huhu,

ah jetzt ok smile

smile

danke!

also bei a) hab ich nun raus:

$\begin{eqnarray*} z=x+\frac{1}{x}i \end{eqnarray*}$

bei b)

habe ich nun stehen:

$\begin{eqnarray*} x=y-x^2+y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2+y-x^2-x=0 \end{eqnarray*}$

un nu??? wie lös ich das? verwirrt

verwirrt

danke für die mühen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2007, 09:13

DerTony

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RE: komplexe zahlen

Zitat:

Original von meli05
hallöchen,

ich bin grade an folgenden aufgaben:

Stellen Sie in der Form a+ib dar:

1) $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{1-i} \end{eqnarray*}$

bei 1) habe ich raus

1+i

Bist Du hier sicher?

Wie hast Du das ausgerechnet?

Ich habe da folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1^2+2*1*i+i^2}{1^2-i^2} =\frac{1+2i+i^2}{1-i^2} \end{eqnarray*}$

So, da $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$ setze ich das ein:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1+2i+(-1)}{1-(-1)} = \frac{1+2i-1}{1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2i}{2} = i \end{eqnarray*}$

Oder wo ist mein Fehler?

Gruß
Tony

26.04.2007, 18:51

meli05

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hab auch i raus hatte es wohl falsch hier reingeschrieben sorry!

kann mir hier noch jmd helfen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

bei b)

habe ich nun stehen:

$\begin{eqnarray*} x=y-x^2+y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2+y-x^2-x=0 \end{eqnarray*}$

un nu??? wie lös ich das? verwirrt

verwirrt

danke für die mühen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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