Basis

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gerd Auf diesen Beitrag antworten »
Basis
Wenn ich drei Vektoren gegeben habe und zeigen soll, dass diese eine Basis von R^3 sind, was genau muss ich dann zeigen?
Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »

du musst zeigen, dass die 3 linear unabhängig sind, also dass sich einer nicht als Linearkombination von den 2 anderen darstellen lässt.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du zeigst alternativ, dass der nullvektor nur trivial (koeffizienten alle 0) aus den 3 vektoren linearkombinierbar ist.
dazu stellst du dir ein LGS zusammen und zeigst das es eindeutig lösbar ist.

das ist aber gleichbedeutend damit, das die matrix, deren spalten gerade die vektoren sind (3x3-matrix), als treppe die einheitsmatrix hat.

mfg jochen
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

habe selber gerade erst mit dem Thema angefangen und deshalb noch eine Frage:

Muss man nicht zusätzlich zur linearen Unabhängigkeit der 3 Vektoren auch noch zeigen, dass sie ein Erzeugendensystem von sind? Also dass jeder beliebige Vektor als Linearkombination der 3 Vektoren darstellbar ist?

Gruß Poldi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

eine basis ist ein minimales erzeugendensystem, so weit richtig.
minimalität ist dadurch gegeben, das die vektoren linear unabhängig sind....

allgemein gilt nun aber: in einem n-dimensionalen vektorraum können maximal n vektoren linear unabhängig sein, n+1 sind in jedem fall linear abhängig.
dim R3 = 3.
sind also deine 3 vektoren linear unabhängig, so müssen dies maximal linear unabhängig sein => jeder weitere vektor muss sich aus diesen erzeugen lassen => die 3 l.u. vektoren sind gleichzeitig basis....

mfg jochen

Vektorräume, wunderschönes Thema Big Laugh
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