unabhängig, identisch verteile ZV

06.12.2004, 22:28

CUBUS

unabhängig, identisch verteile ZV

Hi, brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es seien X_1, ..., X_n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Wertebereich IN und wahrscheinlichkeitsfunktion

p_k := 1 / (k*(k+1)).

Bestimme dazu:
P(X_1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k)
P(max(X_1,...X_n) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k)
weiter bestimme die Wahrscheinschlichkeitsfunktion von M_n= max(X_1,...,X_n). Zeigen sie, das P(M_n > lambda * n) konvergiert und bestimme den Grenzwert.
/latex

Hm meine Lösungsansätze sehen so aus:
P(X_1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k) = Summe von Index k=t bis unendlich über p_k
bei den anderen weiss ich nicht so recht.. müsste es nicht egal sein ob da X_1 oder X_n steht da sie identisch verteilt sind?...muss ich das formal irgendwie beweisen oder kann ich sagen:
P(max(X_1,...X_n) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k) = P(X_1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k)
beim rest weiss ich leider nicht so genau...
danke für eure antworten

06.12.2004, 22:45

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RE: unabhängig, identisch verteile ZV

Zitat:

Original von CUBUS
P(X_1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k) = Summe von Index t=k bis unendlich über p_t
bei den anderen weiss ich nicht so recht.. müsste es nicht egal sein ob da X_1 oder X_n steht da sie identisch verteilt sind?

Der Summenansatz ist (bis auf ein paar von mir korrigierte Schreibfehler) richtig. Mit der identischen Verteilung von X_1 und X_n hast du ebenfalls recht.

Zitat:

Original von CUBUS
P(max(X_1,...X_n) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k) = P(X_1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ k)

Hier irrst du!

Ein Tipp:

Betrachte mal lieber die Komplementärwkt

1 - P(max(X_1,...X_n) >= k) = P(max(X_1,...X_n) < k )

unter folgendem Aspekt:

Das Maximum von n Zahlen ist genau dann <k, wenn alle diese n Zahlen <k sind.

07.12.2004, 13:35

CUBUS

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RE: unabhängig, identisch verteile ZV
Hab an der Aufgabe weiter gearbeitet, so ist mein aktueller Stand:

$\begin{eqnarray*} P(X_1 >= k) = \sum_{i=k}^\infty ~p_i = \sum_{i=k}^\infty ~1/(i(i+1)) = \sum_{i=k}^\infty ~(1/i - 1/(i+1)) =Teleskopsumme=> P(X_1 >= k)= 1/k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{i=1}^{n} \end{eqnarray*}$ soll hier heißen: Produkt von i=1 bis n (Formeleditor bietet kein PI-Zeichen im Sinne der Reihe)
$\begin{eqnarray*} P(max(X_1,...X_n)>= k) = 1 - P(max(X_1,...X_n)<= k) <br /> P(max(X_1,...X_n)<= k) = \int_{i=1}^{n} \sum_{k_i=1}^k ~p_k(i) =\int_{i=1}^{n} \sum_{k_i=1}^k~1/k_i - 1/(k_i+1) = \int_{i=1}^{n} 1-1/k = \int_{i=1}^{n} (k-1)/k = ((k-1)/k)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} beachte : \sum_{k_i=1}^k~1/k_i - 1/(k_i+1) = 1-1/k (Teleskopsumme) \end{eqnarray*}$
also: P(max(X_1,...X_n)>= k) = 1 - ((k-1)/k)^n

Wahrscheinschlichkeitsfunktion von M_n= max(X_1,...,X_n):
$\begin{eqnarray*} P(max(X_1,...X_n)= k) = P(max(X_1,...X_n)>= k) - P(max(X_1,...X_n)>= k+1) = 1 - ((k-1)/k)^n - (1 - (k/(k+1))^n ) = (k/(k+1))^n - ((k-1)/k)^n \end{eqnarray*}$
Hier weiss ich echt nicht weiter! Jemand hierzu ne Idee?
Zeigen sie, das P(M_n > lambda * n) konvergiert und bestimme den Grenzwert (lamba ist wohl positiv nehme ich an!)

07.12.2004, 13:46

CUBUS

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Hab Fehler gefunden! Ohje
Hab an der Aufgabe weiter gearbeitet, so ist mein aktueller Stand:

{k-1}
$\begin{eqnarray*} P(max(X_1,...X_n)>= k) = 1 - P(max(X_1,...X_n)< k) <br /> P(max(X_1,...X_n)< k) = \int_{i=1}^{n} \sum_{k_i=1}^{k-1} ~p_k(i) =\int_{i=1}^{n} \sum_{k_i=1}^{k-1}~1/k_i - 1/(k_i+1) = \int_{i=1}^{n} 1-1/(k-1) = \int_{i=1}^{n} (k-2)/(k-1) = ((k-2)/(k-1))^n \end{eqnarray*}$

also: P(max(X_1,...X_n)>= k) = 1 - ((k-2)/(k-1))^n

Wahrscheinschlichkeitsfunktion von M_n= max(X_1,...,X_n):
$\begin{eqnarray*} P(max(X_1,...X_n)= k) = P(max(X_1,...X_n)>= k) - P(max(X_1,...X_n)>= k+1) = 1 - ((k-2)/(k-1))^n - (1 - (k-1/(k))^n ) = (k-1/(k))^n - ((k-2)/k-1)^n \end{eqnarray*}$
hoffe jetzt stimmt es

07.12.2004, 14:25

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Ich würde dir gern helfen, allerdings steige ich nicht so ganz hinter deine Symbolik.

Was soll z.B. $\begin{eqnarray*} \quad \int_{i=1}^{n}\quad \end{eqnarray*}$ sein - ein Integral über einen ganzzahligen Index???

Meinst du vielleicht ein Produkt, also $\begin{eqnarray*} \quad\prod\limits_{i=1}^n\quad \end{eqnarray*}$ ?

07.12.2004, 14:27

CUBUS

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re: unabhängig, identisch verteile ZV
Ja genau dein Produktzeichen!!! habs im formeleditor nciht gefunden und hab improviziert...

07.12.2004, 14:30

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RE: unabhängig, identisch verteile ZV
Mein Tipp oben bezog sich übrigens auf die Identität

$\begin{eqnarray*} P(\max(X_1,\ldots,X_n) < k )=P(X_1<k,\ldots,X_n<k) \end{eqnarray*}$

Sind (wie in deinem Fall) die Zufallsgrößen X_1, ... , X_n sogar unabhängig, dann wird daraus

$\begin{eqnarray*} P(\max(X_1,\ldots,X_n) < k )=P(X_1<k)\cdot\ldots\cdot P(X_n<k) \end{eqnarray*}$

07.12.2004, 14:43

CUBUS

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re: unabhängig, identisch verteile ZV
wenn ich mich nicht irre hab ich das benutzt...
es gibt (k-1)^n möglichkeiten....wie oben bei dir gefragt...

P(X_1<k) = (k-2)/(k-1) aus der Teleskop summe...
da P(X_1<k) = ... = P(X_n<k)
ergibt sich P(max(X_1,...X_n)>= k) = 1 - ((k-2)/(k-1))^n

07.12.2004, 14:51

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RE: unabhängig, identisch verteile ZV
Ich glaube, du hast einen "Index-Verschiebungs-Fehler" in deiner Rechnung.

Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X_i\leq k-1)=P(X_i<k)=1-P(X_i\geq k)=1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k} \end{eqnarray*}$

also k statt wie bei dir (k-1).

07.12.2004, 15:17

CUBUS

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re: unabhängig, identisch verteile ZV
stimmt stimmt, hast mal wieder recht Augenzwinkern

korrigiere mich jetzt kurz:
P(X_i<k) = (k-1)/k ===> (P(X_i<k))^n = ((k-1)/k)^n
damit P(max(X_1,...X_n)>= k) = 1 - ((k-1)/k)^n
dann ergibt sich für: P(M_n = k) = P(max(X_1,...X_n)= k) =((k-1)/k)^n - (k/(k+1))^n

stimmts denn jetzt?!
der letzte teil der aufgabe fehlt: Weiss nicht muss ich da ne abschätzung vornehmen? nur dann wird es ungenau mit dem Grenzwert...dachte mir mit Gaussklammern arbeiten, aber dann muss man ne fallunterscheidung durchführen...

07.12.2004, 15:27

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RE: unabhängig, identisch verteile ZV
Naja, "fast":

P(M_n = k) = P(max(X_1,...X_n)= k) = (k/(k+1))^n - ((k-1)/k)^n

(Zum Glück kriegt man Vorzeichenfehler bei Wahrscheinlichkeiten irgendwann mit ... Augenzwinkern

)

Zur letzten Frage:

Du hast doch schon die Formel

$\begin{eqnarray*} P(M_n \geq k) = 1 - \left(1-\frac{1}{k}\right)^n \end{eqnarray*}$

da musst du doch nur noch $\begin{eqnarray*} k=\lambda\cdot n \end{eqnarray*}$ einsetzen und den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ durchführen.

07.12.2004, 23:28

CUBUS

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re: unabhängig, identisch verteile ZV
schreib hier die antwort zum dritten mal...*Argh*...nun gut:

lim (1+1/k)^k = e....aus Ana bekannt..

(1+1/(z*n))^(z*n) = (1+1/m)^(m/z) m---> infitiy => e^(1/z)
beachte: m = z*n => n=m/z wobei z das erwähnte lambda sein soll

damit lim P(M_n>=z*n) = 1 - e^(1/z)

Nun meine Frage, ist das korrekt?..hätte ich vorher beschränkt und monotonie zeigen müssen?...bin da mal gespannt....schönen abend noch ^^ und danke soweit

08.12.2004, 08:07

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RE: unabhängig, identisch verteile ZV
Mit z = -lambda (*Argh* - schon wieder das Vorzeichen) geht alles so wie von dir beschrieben.

Zitat:

Original von CUBUS
hätte ich vorher beschränkt und monotonie zeigen müssen?

Der Grenzwert, den du da verwendest, ist hinreichend bekannt - man muss das Rad ja nicht immer wieder von neuem erfinden... Also, wie du es aufgeschrieben hast, reicht das vollkommen.

08.12.2004, 12:18

CUBUS

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re: unabhängig, identisch verteile ZV
oki danke schön arthur. hab mich bei der aufgabe zu oft vertan, muss mir den formeleditor genauer ansehen, bin da zu ungeübt drin.

08.12.2004, 12:35

CUBUS

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re: unabhängig, identisch verteile ZV
was mir auffällt...da steht ein minus in der klammer...der grenzwert von (1-1/n)^n war doch 1/e...dann geht das analog...

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