Exponentialfunktion |
| 07.12.2004, 15:02 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Exponentialfunktion Noch was dazu: Sozialwissenschaftler nehmen an, dass die Abnahme der Wochenarbeitszeit ungefähr exponentiell erfolgt. a) Bestimme a und b so, dass für die Funktion f(x)= b*a^x gilt: f(0) gibt den Wert von 1900 an, f(82) den Wert von 1982. Runde dabei a auf drei Nachkommastellen. b) Berechne f(x) für x=-75,-50,-25,0,13 u.s.w. Vergleiche mit den Werten der Grafik***. c)Führe eine " Hochrechnung" durch, wann die 35-Stunden-Woche erreicht wird, d.h. bestimme x so, dass f(x) = 35 gilt. *** Da ich die Grafik weden einscannen noch wo andere finden konnte, beschreib ich euch den Graphen. Zuerst nenne ich euch das Jahr und die dazugehörige Stundenwoche: 1825 = 82 Std 1850 = 68 Std 1875 = 65 Std 1900 = 60 Std 1913 = 57 Std 1932 = 42 Std 1941 = 50 Std 1950 = 48 Std 1960 = 45 Std 1970 = 42 Std 1982 = 40 Std Ich muss euch leider enttäuschen aber ich habe keinen Ansatz gefunden wie ich überhaupt anfangen kann! |
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| 07.12.2004, 15:08 | Jan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
du hast doch den ansatz mit f(x) = b*a^x schon gegeben, und du weißt f(0) = 60 und f(82) = 40. aus den letzten beiden angaben machst du 2 gleichungen, in denen jeweils a und b vorkommen. das gleichungssystem löst du dann und erhältst am ende eine fertige funktionsgleichung. und wenn du die hast, dann ist der rest eigentlich geschenkt... probier jetzt erstmal selbst, und wenn's nicht klappt, sag noch mal genau, warum nicht... 
grüße, JAN |
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| 07.12.2004, 15:10 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Exponentialfunktion Also "genau" wirst du das mit dem Ansatz f(x)= b*a^x nicht hinkriegen, höchstens approximativ im statistischen Sinne. Das ganze nennt sich dann Regression. Logarithmierst du deinen Ansatz, dann wird sogar lineare Regression draus... @Jan: Was du vorschlägst, ist Interpolation - dass also f(x) durch jeden der Ausgangswerte verläuft. Bei n vorgegebenen Werten klappt das aber i.a. nur, wenn du auch n Parameter zur Verfügung hast, hier sind es aber nur zwei Parameter bei 11 Datenwerten. |
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| 07.12.2004, 15:14 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin schon so weit: f(0)=60*a^x und f(82)=40*a^x Aber jetzt weiß ich nicht wie ich weitermachen soll? Soll ich die Gleichungen teilen? Oder nach a hin auflösen? |
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| 07.12.2004, 15:33 | vrenili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einmal hast Du für b 60 und einmal 40 eingesetzt! So geht das aber nicht! Mach es so: Du hast in f(x) das x durch 0 ersetzt! Dann Tu das doch auch auf der rechten Seite der Gleichung: Dann gilt: Ebenso für die andere Gleichung: noch Auflösen und Du hast a ! |
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| 07.12.2004, 15:40 | Jan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Exponentialfunktion
vollkommen richtig, aber die schulerfahrung lehrt, dass genau das hier gefordert ist 
deswegen auch die komische aufgabenstellung in a), wo ja die wertepaare (0 / 60) und (82 / 40) besonders hervorgehoben werden. also nimmt man einfach die, um die beiden parameter zu bestimmen. |
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| 07.12.2004, 15:42 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kriege für a 1,009 raus, aber die Gleichung macht dann überhaupt keinen Sinn! |
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| 07.12.2004, 15:43 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Exponentialfunktion
Nun ja, und meine Hochschulerfahrung sagt mir ganz deutlich, dass es sich hier um Regression handelt - wozu sollte man wohl sonst die ganzen Zwischenwerte angeben. Aber jeder, wie er will... 
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| 07.12.2004, 15:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wie hast du denn das wieder gerechnet? a muß < 1 sein! |
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| 07.12.2004, 15:55 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß das ich sehr talentiert bin aber alles kann ich auch nicht!
f(82)=60*a^82 82/60=a^82 a=82(wurzel aus) 1,366666667 a= 1,004 Da kommt ja was anderes raus! Ich weiß einfach nicht wie ich das rechnen soll! |
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| 07.12.2004, 16:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bis hier wars noch richtig. Und was ist f(82). Schau mal bei vrenili. Siehste! f(82) = 40. Also heißt die Gleichung: 60 * a^82 = 40 Also los, das wird doch gehen! |
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| 07.12.2004, 16:10 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay ich habe jetzt 0,995 rausbekommen! Das ist doch <1 oder nicht? |
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| 07.12.2004, 16:17 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Formel wäre: f(x)=b*0,995^x Aber was muss ich hier für b einsetzen? Die Null wäre hier doch sinnlos! Was ist mit dem x? |
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| 07.12.2004, 16:28 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mathe ist ja so verwirrend! Kann es sein das man es nicht lösen kann? 
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| 07.12.2004, 17:20 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann mir denn keiner von euch helfen? Die Hausaufgaben sind bis morgen! |
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| 07.12.2004, 17:39 | noway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann dir helfen
Du bist ja nun auf die Gleichung Jetzt "fehlt" dir nur noch der Ausgangsbestand b. Naja, den hast du doch oben bereits angegeben. Nämlich So, nun ist die Funktion doch klar definiert
Für x setzt du jetzt die Jahreszahlen ein, also, wie in dr Aufgabe gesagt: Für 1982 z.B. für Viele Grüße |
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| 07.12.2004, 18:19 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke nochmal an dich Noway! Ich muss bei der b) doch nur die Zahlen für das x einsetzen oder? So würde eine Gleichung lauten: f(x)=60*0,995^-75 ----> für das Jahr 1825 f(x)=87,38 Der eigentliche wert sollte 82 sein! (Wenn man an den Graphen denkt!) Noch ein Beispiel: f(x)=60*0,995^-50 ----> für das Jahr 1850 f(x)=77,09 Der eigentliche Wert 68 Stunden! Bei -25 kommt 68,01 raus! Man sieht das es fast genau 10 Stunden weniger sind als beim letzten Mal! Habe ich mich verrechnet oder ist es möglich das es so ungenau wird? Wenn man jedoch die Jahre nach 1900 nimmt z.B. 1913 = 57 Stunden, kommt 56,..... raus und das ist ja fest richtig! Woran kann es liegen? Und wie würde man die c) ausrechnen? |
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| 07.12.2004, 18:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
keine Idee bei c ?. Das steht doch eigentlich schon in der Aufgabe! gesucht ist ein x mit f(x) = 35 Bekanntlich ist f(x)=60*0,995^x Dann mal los, was ist dann x? |
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| 07.12.2004, 18:26 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich schlage vor, du liest nochmal meine zwei Bemerkungen, ziemlich am Anfang des Threads. |
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| 07.12.2004, 18:32 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Arthur Also habe ich mich nicht verrechnet! @klarsoweit Ich habe als Ergebnis 50 Jahre raus. Relativ lang, aber nur relativ! |
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| 07.12.2004, 18:34 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Arthur Aber wieso sind die Wert nach 1900 genauer als die vor 1900? |
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| 07.12.2004, 18:43 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@kingbamboo Es geht nicht um verrechnet oder nicht - es geht um die grundsätzliche Methode. Die, die du jetzt gewählt hast, führt zu einer Interpolations-Funktion, welche die Daten-Werte von 1900 und 1982 perfekt trifft - und alle anderen mehr oder weniger zufällig gut. Die Regression, von der ich gesprochen habe, trifft sogar gar keinen der Datenwerte, approximiert aber alle elf Werte in ihrer Gesamtheit möglichst gut (Erklärung, was das heißt, führt hier vielleicht zu weit). Aber wenn es sich hier um eine Schulaufgabe handelt, bei der es garantiert nicht um Regression (aus der Statistik) geht, dann vergiss meine Bemerkungen ganz schnell...
Ach ja, dass die Werte nach 1900 genauer sind, liegt natürlich zum Teil daran, dass die entsprechenden Jahreszahlen zwischen 1900 und 1982, deinen gewählten Interpolationspunkten, liegen. Die Werte vor 1900 liegen außerhalb dieses Intervalls - und von einer dann so genannten Extrapolation sollte man sowieso keine Genauigkeitswunder erwarten... |
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| 07.12.2004, 18:48 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich bin 16 und in der 10. und verstehe fast gar nichts was du sagst? Sowas haben wir noch nie besprochen! Das ist die 1. Aufgabe die mit dieser Regression zu tun hat oder so! Aber wo ich grade die Werte ausgerechnet habe, die sind gar nicht so richtig für nach 1900. Die sind auch fast alle falsch, aber ich weiß ja jetzt wodurch es zu stande kommt! Eine Frage am Rande, könnte man es denn genauer ausrechnen und wenn ja wie? Ist denn meine Antwort bei c) richtig? |
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| 07.12.2004, 18:55 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier mal ein kleines Bild für diejenigen, die nicht mitgerechnet haben. Dabei taucht gleich eine Frage auf: Stimmt der Wert für 1932 ? Ansonsten sind die Abweichungen zwischen 1900 und 1982 ja einigermaßen im Rahmen. Und ich denke, ihr solltet daraus auch lernen, dass die Anpassung von tatsächlichen, aus dem Leben gegriffenen Beispielen an mathematische Formeln und Berechnungen immer mit Fehlern und Abweichungen verbunden ist. |
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| 07.12.2004, 18:56 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, entschuldige - ich dachte, du hättest schon Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik. Nur zum Vergleich gebe ich dir mal die Regressionslösung an: f(x) = 57.48 * 0.9956^x Wenn du willst, kannst du die ja auch mal in deinen Graph einzeichnen - dann wirst du sehen, dass diese Kurve die Ausgangswerte (im Mittel über alle 11) besser approximiert. |
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| 07.12.2004, 18:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der lässt sich nicht mathematisch, dafür aber geschichtlich begründen: Weltwirtschaftskrise 1929-33, und damit wahrscheinlich verbundene Kurzarbeit. |
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| 07.12.2004, 19:00 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Noch ein Frage! Bei der C) kommt bei mir 50 raus, heißt das jetzt das ich die 50 zu 1982 addieren muss? Also das im Jahre 2032, die 35-Stunden-Woche erreicht wird? |
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| 07.12.2004, 19:03 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier habt ihr noch ein paar Zusatzinfos zu den Werten, falls es einen interessiert: 1900: Gewerkschaften erreichen 10-Stunden-Tag 1918: 8-Stunden-Tag gesetzlich eingeführt 1932: Wie bereits von "KING ARTHUR" erwähnt, Weltwirtschaftskrise ab 1956: Übergang zur 5-Tage-Woche Heute: 40-Stunden-Woche die Regel |
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| 07.12.2004, 19:14 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich erhalte, ausgehend von f(x) = 60*0,995^(x) , wobei x die Anzahl der Jahre seit 1900 sind: im Jahr 2007 würde danach die 35-Std-Woche erreicht werden. Bitte nachrechnen, auch mir unterlaufen Rechen- und Schreibfehler! |
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| 07.12.2004, 19:20 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie hast du das denn gerechnet? Ich habe es wie folgt gerechnet: f(x)=60*0,995^35 f(x)=50,35 Obwohl es eigentlich so falsch ist! Vielleicht so?: f(35)=60*0,995^x 0,5833333333=0,995^x Wenn man für das x 107 also das Jahr 2007 einsetzt kommt folgendes raus: 0,583333333=584883863 Somit muss 107 eine der richtige Lösungen sein! |
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| 07.12.2004, 19:23 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und nun der politische Kommentar des BDI (Bundesverband der Deutschen Industrie) zu diesem Ergebnis: 
(Musste mal gesagt werden. 2007 ist übrigens richtig gerechnet.) |
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| 07.12.2004, 19:27 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Endlich fertig und um einige Dinge schlauer dank die Arthur und den anderen! 
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| 07.12.2004, 19:42 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dein Ansatz ist falsch. Nochmal ganz von vorne, die Aufgabenstellung war: a) Bestimme a und b so, dass für die Funktion f(x)= b*a^x gilt: f(0) gibt den Wert von 1900 an, f(82) den Wert von 1982. Runde dabei a auf drei Nachkommastellen. Du sollst also rechnen für 1900: 60 = a*b^(0) = a*b^(1900-1900) und du sollst rechen für 1982: 40 = a*b^(82) = a*b^(1982-1900) Aus der 1.Gleichung folgt a=60, das eingesetzt in dei zweite ergibt 40=60*b^82 mit b=0,995 als Lösung, somit f(x) = 60*0,995^x oder = 60*0,995^(t-1900), wobei x die Jahre nach 1900 und t damit die entsprechende Jahreszahl ist. Jetzt für c): f(x) = 35, x bzw. t sind gesucht, du machst also den Ansatz: 36 = 60*0,995^x bzw. = 60*0,995^(t-1900) und ermittelst x und t. Schreib doch mal kurz deinen Rechengang dazu hier rein. |
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| 08.12.2004, 08:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
total falsch
etwas besser, aber im Grunde auch falsch, obwohl es dann richtig wird. Du scheinst grundsätzlich ein Problem im Umgang mit Funktionen zu haben. Es geht nicht darum f(35) zu berechnen (das wäre 60 * 0,995^35), sondern ein x zu finden mit f(x) = 60 * 0,995^x = 35. Das führt zu der Gleichung 0,5833333333=0,995^x (auf die du auch gekommen bist, fragt sich nur wie)
107 bzw. 108, wenn man richtig rundet, ist die einzige Lösung. Mehr gibts nicht! |
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| 08.12.2004, 13:29 | kingbamboo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe ein Problem mit dem Umgang von Funktion sonst würde ich ja wohl nicht hier danach fragen! Die Aufgabe c) wie ich sie gerechnet habe ist vollkommen richtig, dass sagte nämlich mein Mathelehrer! |
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| 08.12.2004, 13:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dann zeig mal für Aufgabe c) deinem Lehrer mal diese Zeile (stammt von dir): f(35)=60*0,995^x |
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