komplexe Zahlen

07.12.2004, 16:08

"mauzi"

komplexe Zahlen

Hallöchen,

ich habe eine grundlegende frage zu folgender aufgabe:

Bestimme alle komplexen zahlen z, die folgende Gleichung erfüllen:

a) |z - 1| < |z + 1|
b) Re(1/z) = 1/2
c) |z - 2| + |z + 2| = 10
d) z^2 = (1+ i)/(1- i)

Muss ich hier z durch x+iy ersetzen , die Gleichungen umstellen und dann den Imaginär und Realteil betrachten?

Danke schon mal im vorraus!

PS: Bräucht bis mittwoch noch n ansatz!!!

07.12.2004, 17:41

Calvin

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RE: komplexe Zahlen

Zitat:

Original von "mauzi"
Muss ich hier z durch x+iy ersetzen , die Gleichungen umstellen und dann den Imaginär und Realteil betrachten?

Kurz und knapp: ja Augenzwinkern

Du kriegst dann den Realteil in Abhängigkeit vom Imaginärteil (oder umgekehrt)

07.12.2004, 18:01

Leopold

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a) könnte man sogar rein geometrisch lösen:

$\begin{eqnarray*} |z-1| = \text{Abstand von } z \text{ zu } 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |z+1| = \text{Abstand von } z \text{ zu } -1 \end{eqnarray*}$

Betrachten wir nun die Gleichung

$\begin{eqnarray*} |z-1| = |z+1| \, , \ \text{d.h. Abstand von } z \text{ zu } 1 = \text{Abstand von } z \text{ zu } -1 \end{eqnarray*}$

Wo liegen nun die Punkte, die zu zwei gegebenen Punkten $\begin{eqnarray*} A \; (=-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \; (=1) \end{eqnarray*}$ denselben Abstand haben?
Das ist ein aus der Mittelstufengeometrie bekannter geometrischer Ort.

Und wo liegen dann die Punkte mit $\begin{eqnarray*} |z-1| < |z+1| \end{eqnarray*}$ , die also näher beim Punkt $\begin{eqnarray*} B \; (=1) \end{eqnarray*}$ als beim Punkt $\begin{eqnarray*} A \; (=-1) \end{eqnarray*}$ liegen?

Natürlich kann man das Problem auch rechnerisch lösen. Wenn du so vorgehen willst, empfehle ich, zuvor zu quadrieren (über den nichtnegativen reellen Zahlen - und Beträge sind nichtnegativ! - ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung):

$\begin{eqnarray*} |z-1| < |z+1| \ \ \Leftrightarrow \ \ |z-1|^2 < |z+1|^2 \end{eqnarray*}$

Und dann beachte die folgende Regel für $\begin{eqnarray*} w = u + \operatorname{i}v \; ; \ u,v \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |w|^2 = u^2 + v^2 \end{eqnarray*}$

08.12.2004, 15:14

"mauzi"

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komplexe Zahlen
Danke für die Hilfe,

Maria. smile

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