Unterraum in Z/2Z |
| 07.12.2004, 18:38 | ganymed | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Unterraum in Z/2Z ich sitze hier an einer Aufgabe, bei der ich am Ansatz scheitere. Sei F2 = Z/2Z der Körper mit 2 Elementen. Wieviele 2-dimensionale Unterräume hat F2^4? Also der Raum hat ja 14 verschiedene Vektoren. Muß ich dann alle 14 auf die 3 Unterraumaxiome untersuchen? Also: Unterraum ungleich 0 v,w aus Unterraum,also auch v+w v aus Unterraum, a aus Körper, also auch a*v aus Unterraum? Vielen Dank schonmal. LG ganymed |
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| 07.12.2004, 19:47 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
ein Vektor in F2^4 hat doe Form v:=(a1,a2,a3,a4) mit a1-a4 jeweils aus F2. Das sind also 2^4=16 verschiedene Vektoren. ausserdem gilt: 2 verschiedene Vektoren ungleich 0 sind linear unabhängig. Beweisskizze: Sei c1*v1+c2*v2=0 c1, c2 ungleich 0 also 1 damit folgt: v1 = -v2 = v2. Ist c1 oder c2 gleich Null klappt es auch nicht. 2 beliebige linear unanhängige Vektoren spannen einen 2-dim Unterraum auf. Dieser enthält dann 4 Vektoren, 0, v1, v2, v1+v2. Zeige das die immer verschieden sind und das das alle sind. ausserdem gilt v1 + (v1+v2) = v2 Es gibtr 15*14/2 Möglichkeiten 2 Vektoren ungleich Null auszuwählen. Je 3 Möglichkeiten führen auf den gleichen Untterraum, damit gibt es insgesamt 15*14/2*3 = 35 2-dim Unterräume |
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