Ableiten mit Kettenregel

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07.12.2004, 18:46	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableiten mit Kettenregel Hallo! Es geht um die ableitung von verketteter funktionen mit der kettenregel. es muss auch vereinfacht werden. Ich habe ein paar aufgaben gemacht und würde gerne wissen ob das so richtig ist. 1) f(x) = (2-3x)^-2 v(x) = 2-3x u(v) = v^-2 = 1/v^2 v'(x) = -3 u'(v) = -2/v^3 u'(v(x)) = -2 / (2-3x)^3 u'(v(x)) * v'(x) = (-2(-3)) / (2-3x)^3 = 6 / (2-3x)^3 2) f(x) = (1/2 x - 5x^3)^-3 v(x) = 1/2x - 5x^3 u(v) = v^-3 = 1/v^3 v'(x) = 1/2 - 15 x^2 u'(v) = -3/v^4 u'(v(x))= -3 / (1/2x - 5x^3)^4 u'(v(x)) v'(x) = (-3*(1/2 - 15x^2)) / (1/2x-5x^3)^4 = (-3/2 + 45x^2) / (1/2x - 5x^3)^4 sooo bevor ich weitere aufgaben zur überprüfung poste, würde ich gerne wissen ob die beiden aufgaben überhaupt richtig sind. Bei der zweiten aufgabe habe ich so meine zweifel...vll kann man das ja irgendwie noch vereinfachen oder ich hab das falsch gemacht.
07.12.2004, 19:10	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
alles richtig...!
07.12.2004, 19:12	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a) und b) stimmen
07.12.2004, 19:18	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
seid ihr euch sicher wegen b) ? ich hab das mal in so ein programm eingegeben und da kommt wohl angeblich folgendes raus: (24(30x^2 -1)) / (x^4(1-10x2)^4) verstehe nicht wie man zu diesem ergebnis kommt. Hier mal ne weitere Aufgabe: 3) f(t) = (1-2t^2)^-4 v(t) = 1-2t^2 u(v) = v^-4 = 1/v^4 v'(t) = -4t u'(v) = 4 / (1-2t^2)^5 u'(v(t)) * v'(t) = (4*(-4t)) / (1-2t^2)^5 = -16t / (1-2t^2)^5 Ist aber glaub ich falsch.
07.12.2004, 19:19	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
lass dein prog den term einfach nochmal vereinfachen. 3) edit: da ist jetzt ein minus zu viel
07.12.2004, 19:22	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
bei 3 ist ein minus zuviel glaub ich. wenn ich mich nicht vertan hab, muss bei u'(x) die Ableitung -4/v sein, und dann hast du am ende -4*-4=+16... sonst richtig...
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07.12.2004, 19:24	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ist bei 2) (-3/2 + 45x^2) / (1/2x - 5x^3)^4 schon der vereinfachte term??? ich hab bei den ganzen aufgaben überhaupt gar nichts vereinfacht, dabei steht extra in der aufgabenstellung, dass man das irgendwie vereinfachsen soll. aber wie soll ich das machen oder kann man das nicht mehr vereinfachen?
07.12.2004, 19:28	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
das kannst du so stehen lassen zu 3) wie ich auch bemerkt hab ist ein minus zuviel. $\begin{eqnarray} f'(t) = \frac{16t}{\left(1-2t^2\right)^5} \end{eqnarray}$ denn u'(v) ist $\begin{eqnarray} u'(v) = -\frac{4}{\left(1-2t^2\right)^5} \end{eqnarray}$
07.12.2004, 19:40	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt! hab den fehler gar nicht gemerkt! jetzt noch 3 weitere aufgaben: 4) f(x) = wurzel3x v(x) = 3x u(v) = wurzel v v'(x) = 3 u'(v) = 1/ (2wurzel2 u'(v(x)) = 1/ (2wurzel3x) u'(v(x)) * v'(x) = (13) / (2wurzel3x) = 3 / (2wurzel3x) 5) f(x) = sin2x v(x) = 2x u(v) = sin v v'(x) = 2 u'(v) = cos v u'(v(x)) = cos2x u'(v(x)) v'(x) = cos2x 2 heißt das nun: 2cos * 2x oder 2(cos2x) ??? 6.) f(x) = (1 + wurzelx)^2 v(x) = 1+wurzelx u(v) = v^2 v'(x) = 1/ (2wurzelx) u'(v) = 2v u'(v(x)) = 2(1+wurzelx) = 2 + 2wurzelx u'(v(x)) v'(x) = 2+2wurzelx (1 / (2wurzelx)) = (2+2wurzelx) / (2*wurzel x) = 2 man darf da doch kürzen oder nicht?
07.12.2004, 19:57	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, man darf nicht kürzen! zumindest nicht so... nicht aus summen! Du darfst 2 ausklammern und kürzen, aber dann steht da: $\begin{eqnarray} \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ und das ist nicht zu kürzen. Du kannst es höchstens als $\begin{eqnarray} x^{-\frac{1}{2} }+1 \end{eqnarray}$ schreiben. 4 und 5 sind richtig. bei 5 ist beides das gleiche. man setzt die klammer generell nicht, da ja zwischen dem sin und dem 2x auch generell kein * steht...
07.12.2004, 20:09	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit 5 versteh ich nicht... 2(cos2x) ist doch 2cos 4x und also nicht das selbe wie 2cos * 2x. was muss denn bei 5) nun richtig geschrieben rauskommen? also 6) (2+2wurzelx) / (2wurzelx) = (2(1+1wurzelx)) / (2*wurzelx) = (1+wurzelx) / (wurzelx)
07.12.2004, 20:17	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte setze die klammern!! $\begin{eqnarray} 2\left(cos(2x)\right) = 2cos(2x) \end{eqnarray}$ 6) so stimmt's. noch ein tipp: das kürzen könntest du aber sofort machen, wenn du $\begin{eqnarray} u'(v) \cdot v'(x) \end{eqnarray}$ rechnest.
07.12.2004, 20:20	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
achsooo...alles klar wie meinst du das mit dem sofort kürzen? an welcher stelle kann ich denn früher kürzen? wenn ich u'(v(x)) * v'(x) rechne dann hab ich doch: 2+2wurzelx (1/(2*wurzelx)) soll ich da gleich die 2 wegkürzen, so dass ich als endergenis folgendes rauskriege: 2+wurzelx / wurzelx dann ist das ergebnis aber doch falsch oder nicht?
07.12.2004, 20:25	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) = (1 + \sqrt{x})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(x) = 1 + \sqrt{x} \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(v) = v^2 \Rightarrow u'(v) = 2v = 2(1 + \sqrt{x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = u'(v) \cdot v'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2(1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2(1 + \sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ alles klar. nicht immer schon zu zeitig ausklammern
07.12.2004, 20:30	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, alles klar! danke
07.12.2004, 20:31	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
bidde schön

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