Grenzwertbetrachtung bei einer iterativen Anweisung |
| 07.12.2004, 19:48 | tuxracer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Grenzwertbetrachtung bei einer iterativen Anweisung Ich habe mir die Gleichung [Wobei l_0 = 1 ist] aufgestellt und möchte eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Jetzt ist es mir allerdings nicht ganz klar, wie ich im Falle einer rekursiv gegebenen Funktionsforschrift vorgehen muss. Ich habe mal versucht das ganze Wissen in eine einzige Funktion (z.B. f(n) = n^2) zu packen und mir damit die Iterationen zu sparen..Nur leider komme ich da auf keine vernünftige Lösung. Hätte jemand ne Idee für mich? Besten Dank. Gruss, Oliver |
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| 07.12.2004, 20:21 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich forme mal um: L(n+1) = 0,3*L(n) + 0,2 Du könntest es jetzt mit dem Ansatz L(n) = a*b^n für die homogene Gleichung L(n+1) = 0,3*L(n) versuchen, dann mit dem errechneten b und dem Ansatz L(n)=a*b^n+c in die Ausgangsgleichung gehen und das c errechnen, und dann aus dem Startwert das a ermitteln. Andrerseits könntest du einfach mal voraussetzten, dass ein Grenzwert G existiert, dann muss für sehr große n usw. L(n+1) ungefähr L(n) ungefähr G sein, dies in die Ausgangsgleichung eingesetzt, ergibt den Grenzwert G, wenn er den existiert und keine unsinnigen Ergebnisse rauskommen. |
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| 08.12.2004, 19:49 | tuxracer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi! Danke für den Hinweis, daran habe ich noch garnicht gedacht! Also den Grenzwert kenne ich prinzipiell schon a priori..Ich will nur ein wenig experimentieren. Die Aufgabe ist ja im Grunde noch recht überschaubar, ich halte es nur für gut sich mal solche Überlegungen für iterativ gegebene Funktionen zu machen. Du könntest es jetzt mit dem Ansatz L(n) = a*b^n für die homogene Gleichung L(n+1) = 0,3*L(n) versuchen, dann mit dem errechneten b [...] Mir ist der erste Schritt noch nicht so ganz klar. Wie muss ich das umformen, damit ich b bestimmen kann? l(2) ist ja beispielsweise : l(2) =0.3*(0.3*1+0.2)+0.2 Ich weiß gerade nicht so genau, wie ich den Startwert l(0) = 1 mit der Iterationsvorschrift in Einklang bringen soll um b zu bestimmen. |
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| 08.12.2004, 21:04 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In diesem Beitrag hab ich das mal n bißchen zusammengefasst, wie man das bei solchen rekursiv definierten Folgen am besten macht. Du solltest auch erstmal den Grenzwert so berechnen, wenn du das noch nicht gemacht hast. Speziell in deinem Fall musst du zeigen: 1. Schritt: Zeige (vollständige Induktion!!) 2. Schritt: Forme nach um. Auch du erhältst eine Aussage, die du schon im 1. Schritt bewiesen hast. 3. Schritt: Folge monoton und beschränkt, also konvergent. 4. Schritt: Jetzt ist die Berechnung des Grenzwertes gerechtfertigt und du kannst sie so anwenden ... 
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| 08.12.2004, 21:57 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, ich schreibe mal den Lösungsweg mal Schritt für Schritt, aber du solltest beachten, dass das Ergebnis durch Monotonie-, Stetigkeits- und Konvergenzbeweise entsprechend der Vorgehensweise von @Mathespezialschüler überprüft werden muss, wenn denn erforderlich. Ausgangsgleichung umgeformt: L(n+1) = 0,3*L(n) + 0,2 oder L(n-1) - 0,3*L(n) = 0,2 Homogene Gleichung: L(n+1) - 0,3*L(n) = 0 Ansatz zur Lösung: L(n) = a*b^n mit L(n+1) = a*b^(n+1) Eingesetzt: a*b^(n+1) - 0,3*a*b^n = 0 Geteilt durch a*b^n ergibt b - 0,3 = 0 , somit b = 0,3 Wie man sieht, hätte man das a in dem Lösungsansatz auch weglassen können, nur ich mache das auch nicht alle Tage ... Ansatz zur Lösung der (umgeformten) Ausgangsgleichung: L(n) = a*0,3^n + c mit L(n+1) = a*0,3^(n+1) + c Eingesetzt: a*0,3^(n+1) + c - 0,3*a*0,3^n + 0,3*c = 0,2 Ergibt: c - 0.3*c = 0,2 , also c = 0,2/0,7 = 2/7 Bisher erhaltene Lösung: L(n) = a*0,3^n + 2/7 Der Startwert war L(0) = 1, dies eingesetzt ergibt für n=0 : 1 = a*0,3^0 + 2/7 , also a = 5/7 EDIT: Schreibfehler korrigiert Somit: L(n) = (5/7)*0,3^n + 2/7 mit L(0) = 1, L(1) = 1/2 und L(2) = 0,35 usw. Bitte nachrechen, evtl. mit anderen Zahlen ! Zur Übung könntest du versuchen, auf diese Art und Weise das allgemeine Glied der Folge von Fibonacci ermitteln, für die gilt: a(n+2) = a(n+1) + a(n) mit a(0)=0 und a(1)=1. Es muss irgendwas mit Wurzel(5) +/- 1 hoch n rauskommen, und trotzdem sind die Glieder der Folge ganze Zahlen. |
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| 08.12.2004, 22:20 | tuxracer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, danke! Ihr habt mir ein ganzes Stück weitergeholfen. Habe jetzt ne Menge dazugelernt..Eine Frage zum Verständnis hätte ich dennoch: müsste das nicht heißen: Aber wahrscheinlich darf ich n's nach dem Grenzwert nicht mehr betrachten. Wenn die Folge konvergiert ist und ich n's aus |N zulasse, dann habe ich doch nach dem Grenzwert das Verhalten l(n+1) = l(n), oder ? EDIT: Ich habe gerade mal versucht zur Übung den Beweis durch Induktion zu führen. Mich würde jetzt mal interessieren, ob dieser gültig ist, oder ob ich das so vielleicht doch nicht zeigen kann. Beweis durch v. Induktion: 1. n=1: l(1)=1 > 2/7 2. n=n+1: l(n) = 0.3*l(n-1) + 0.2 > 2/7 wenn l(n-1) > 0. Da aber l(n-1) > 2/7 => l(n+1) > 2/7 |
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