ln Funktion: Kurvendiskussion

22.04.2007, 09:14

andre-prester

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ln Funktion: Kurvendiskussion

Moin! Ich muss folgende Funktion lösen: f(x) = ln(x²-2)

Ich habe schon bei Dmax (Def.bereich) ein Problem.

Folgenden Ansatz hab ich:

x²-2 > 0 |+2
x² > 2 |Wurzel ziehen
x > Plus/Minus 1,41

Aber ln ist doch für negativ nicht definiert, oder?? Ich weiß nicht was jetzt dann der Def. bereich ist?

Wär cool wenn mir einer kurz hilft...und evtl. noch die Ableitung...weil das kann ich auch net so gut...

22.04.2007, 09:19

Bjoern1982

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Zitat:

Aber ln ist doch für negativ nicht definiert, oder??

Das stimmt schon, nur geht es hier ja um das ganze Argument, also um ln(x²-2) und nicht bloß um ln(x). Und wegen dem x² wird ja eh jede negative Zahl schon wieder positiv.

Für die Definitionsmenge gibt es genau zwei Bereiche, die du angeben musst.

Für die Ableitung brauchst du die Kettenregel.

Gruß Björn

22.04.2007, 09:30

andre-prester

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Danke, schon mal.

Aber so ganz einleuchten tut mir noch nicht, was jetzt genau Dmax ist.
Ich glaube irgendwie habe ich nach x nicht richtig aufegläst im letzten Schritt als ich die Wurzel gezogen habe (das größer-Zeichen?).
Also jetzt heißt das ja x > -1,41. also wenn man jetzt ln(-0,8² - 2) wäre käme ja was negatives trotzdem raus. kannst du mir vllt nochmal die genaue berechnung aufschrieben weil unser mathe lehrer is immer sehr genau...

22.04.2007, 09:43

Bjoern1982

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Also entweder so:

$\begin{eqnarray*} x^2>2 \end{eqnarray*}$ ----> Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} <=> |x|>\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

----> Betrags(un)gleichungen haben zwei Lösungen für positive oder negative x-Werte, deshalb:

für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x>+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

für x<0 gilt $\begin{eqnarray*} -x>+\sqrt{2}<=> x<-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

-----> Durch die Multiplikation mit -1 dreht sich das Größer-Zeichen um

Also gilt für die Lösungsmenge und somit für die max. Def.menge :

$\begin{eqnarray*} x>+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Anschaulicher kann man sich auch überlegen:

$\begin{eqnarray*} x^2-2>0 \end{eqnarray*}$

----> Wann besitzt die Normalparabel mit der Gleichung y=x²-2 positive Funktionswerte (>0), oder anders ausgedrückt: in welchen Intervallen verläuft die Parabel OBERHALB der x-Achse

Wenn du dir die Parabel mal kurz skizzierst siehst du auch für welche Bereiche auf der x-Achse das gelten muss smile

smile

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

22.04.2007, 10:39

andre-prester

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Also ich habe jetzt folgendes Ergebnis:

Dmax = ]- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , -1,41[ und ]1,41, + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ [

Richtig?

22.04.2007, 11:51

Bjoern1982

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Exakt ist es natürlch nicht, weil du mit gerundeten Werten arbeitest.
Nimm doch einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ smile

smile

Ansonsten passt es aber.

Hast du denn verstanden wie man darauf kommt bzw warum man diese zwei Bereiche erhält ?

Björn

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22.04.2007, 12:13

andre-prester

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Ja, hab ich verstanden nachdem ich mir die Skizze gemacht habe.

Ich habe schon mal probiert die erste Ableitungs auszurechnungen und habe folgendes herausbekommen:

f(x) = ln(x²-2)

f'(x) = $\begin{eqnarray*} 2*x * \frac{\frac{1}{1}}{\frac{x²-2}{1}} \end{eqnarray*}$

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{x²-2} \end{eqnarray*}$

Ist die 1. Ableitung so richtig?

Nullstelle habe ich folgende herausbekommen:

f(x) = 0

1 = x²-2 |+2
x² = 3
x= $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 1,73

Sind die Nullstellen richtig?

Des Weiteren die Frage: Ist die Funktion achsensymmetrisch?

Schon mal besten Dank Björn, hast mir schon gut weitergeholfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.04.2007, 12:24

Bjoern1982

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Zitat:

Ja, hab ich verstanden nachdem ich mir die Skizze gemacht habe.

Freut mich, es geht halt hier dadurch sehr anschaulich, dass man sich einfach vor Augen führt, dass die Parabel links von der negativen Nullstelle und rechts von der positiven Nullstelle oberhalb der x-AChse verläuft.

Immer klappt eine solche Veranschaulichung aber auch nicht (jedenfalls nicht ohne viel Aufwand), deshalb wäre es gut, wenn du dir auch einprägst wie man rechnerisch auf das Ergebnis kommt (siehe obige Fallunterscheidung wegen Betrag)

Zu den Ableitungen:

1. Ableitung stimmt Freude

Freude

Zu den Nullstellen wieder die alte Leier Big Laugh

Big Laugh

Gerundet JA....Exakt NEIN

Zitat:

Des Weiteren die Frage: Ist die Funktion achsensymmetrisch?

Ja, ist sie...weisst du auch zu welcher Achse ?
Und viel wichtiger....kennst du Kriterien zum Nachweis bestimmter Symmetrien ?

Gruß Björn

22.04.2007, 12:32

andre-prester

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Ja, kenne die Regeln für das Symmetrieverhalten.

f(x) = f(-x) AS
f(x) = -f(-x) PS

Also habe nun auch schon die 2. ABleitung ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x²-4}{(x²-2)²} \end{eqnarray*}$

Ist sie richtig?

Habe herausbekommen, dass es keinen Extrem- und auch keinen Wendepunkt gibt, stimmt das?

Beim Verhalten im Unendlichen geht die Funktion beide Male ins Unendliche.

Also für mich betrachtet bzw. wenn ich die Funktion zeichne, dann zeichne ich die Nullstellen ein und gehe von den Nullstellen ins Unendliche (achsensymmetrisch). Links von der Y-Achse geht somit der Graph immer weiter höher und mehr nach links oben und rechts neben der Y-Achse verläuft der Graph nach rechts oben.

Habe ich alles richtig gemacht?

Ich hoffe =)

22.04.2007, 12:55

Rare676

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solange du das nicht so zeichnen willst.

Fertige ne Tabelle an, und nimm x werte aus dem $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ um die zugehörigen y-werte zu bekommen.

Dann kannste das auch vernünftig zeichnen

22.04.2007, 12:57

Bjoern1982

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Zitat:

a, kenne die Regeln für das Symmetrieverhalten.

f(x) = f(-x) AS
f(x) = -f(-x) PS

Ist richtig....aber mit der Einschränkung, dass dass nur für genau eine Achse bzw genau einen Punkt gilt.

Zu welcher Achse ist die Funktion also symmetrisch ?

(ich weiss dass mag alles sehr pingelig wirken aber glaub mir, formal ist das wirklich wichtig und könnte bei dem einen oder anderen Mathelehrer zu Punktabzügen führen)

Zweite Ableitung und Verhalten an den Rändern ist auch richtig smile

smile

Dass es keine Wendepunkte und Extema gibt stimmt ebenfalls Freude

Freude

So sieht der Graph aus:

Gruß Björn

22.04.2007, 13:05

andre-prester

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Also die Funktion ist meiner Meinung nach zur Y-Achse symmetrisch. Hab ich Recht?

Jetzt habe ich aber noch eine Frage: Ich persönlich hätte die Parabel nicht so schnell nach links bzw. rechts verlaufen lassen, sondern erst noch höher und auch steiler. Wie kann man denn darauf kommen, dass Sie so in dieser Form ins Unendliche verläuft?

Nochmal ein großes Danke für deine Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.04.2007, 13:06

Rare676

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mit schätzen wird das sowie nichts Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leg dir ne Wertetabelle an, wie ich oben schon gesagt habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.04.2007, 13:11

Bjoern1982

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Zitat:

Also die Funktion ist meiner Meinung nach zur Y-Achse symmetrisch. Hab ich Recht?

Ja, das wollt ich hören Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

jetzt habe ich aber noch eine Frage: Ich persönlich hätte die Parabel nicht so schnell nach links bzw. rechts verlaufen lassen, sondern erst noch höher und auch steiler. Wie kann man denn darauf kommen, dass Sie so in dieser Form ins Unendliche verläuft?

Durch das eintragen noch mehrerer Punkte kannst du den Velauf des Graphen natürlich noch exakter kenntlich machen.

Es genügt aber meist vollkommen, dass man skizzenhaft andeuten, wie er verläuft....also wichtig ist lediglich, dass man alle Ergebnisse der vorigen Kurvendiskussion am Graphen wieder erkennt (Nullstellen, Symmetrie etc)

Wie steil der Graph genau an bestimmten Stellen ist, ist eben kein Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Achja....und gern geschehen....freut mich dass ich dir weiterhelfen konnte Wink

Wink

Björn

22.04.2007, 13:42

andre-prester

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Haben wir nicht noch was vergessen?

Mir ist eingefallen, dass wir das Verhalten an den Definitionslücken nicht untersucht haben? Also, man muss doch die Polstellen untersuchen oder?

23.04.2007, 17:06

andre-prester

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Muss ich noch das Verhalten an den Polstellen berechnen?

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