Reihe auf Konvergenz untersuchen mit Integralkriterium

22.04.2007, 10:57

der Ubekannte

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Reihe auf Konvergenz untersuchen mit Integralkriterium

Hallo,

ich bin mir total unsicher, ob mein Vorgehen bei der Folgenden Aufgabe richtig ist:

Untersuchn Sie die unten stehende Reihen mit Hilfe des Integralkriteriums auf die Konvergenz.

(a) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} ~ \frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}~ \frac{1}{n(ln n)^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$

zu (a):

Man muss doch folgendes Integral zunächst mal lösen, oder?

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn \end{eqnarray*}$

und da bekomme ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = [{- \frac {\alpha + 1}{n^{\alpha +1}} }]_1^\infty = \lim_{a \to \infty } (- \frac{\alpha +1} {a^{\alpha +1}} )-(- \frac{\alpha +1} {1^{\alpha +1}} ) \end{eqnarray*}$

wenn das bis hier hin richtig ist, dann konvergiert dieser Teil: $\begin{eqnarray*} (- \frac{\alpha +1} {a^{\alpha +1}} ) \end{eqnarray*}$ doch gegen null, oder? dann bleibt also übrig:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = + \frac{\alpha +1} {1^{\alpha +1}} \end{eqnarray*}$

Frage:
1. Ist es bis hier hin korregt?
2. Und wie sehe ich es dann hier, ob es konvergent ist oder nicht?

22.04.2007, 11:53

therisen

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Deine Überlegungen stimmen schon soweit (abgesehen von den Ungenauigkeiten in der Schreibweise (unbestimmtes Integral statt Limes)). Allerdings ist

$\begin{eqnarray*} \int n^{-\alpha}~\dd n = \frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ .

Arbeite mal damit.

Gruß, therisen

22.04.2007, 11:55

klarsoweit

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RE: Reihe auf Konvergenz untersuchen mit Integralkriterium

Zitat:

Original von der Ubekannte
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = [{- \frac {\alpha + 1}{n^{\alpha +1}} }]_1^\infty \end{eqnarray*}$

Da stimmt die Stammfunktion nicht.

22.04.2007, 12:11

brain man

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RE: Reihe auf Konvergenz untersuchen mit Integralkriterium

Zitat:

Original von der Ubekannte
Frage:
1. Ist es bis hier hin korregt?

Siehe vorige Beiträge.

Zitat:

2. Und wie sehe ich es dann hier, ob es konvergent ist oder nicht?

Daran, dass das Integral einen reellen Wert annimmt oder nicht ( bzw. $\begin{eqnarray*} \infty/-\infty \end{eqnarray*}$ ist ).

Hier brauchst du eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$

22.04.2007, 16:05

der unbekannte

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Ok, also ich glaube ich verstehe (hoffentlich) jetzt, was ich falsch gemacht habe. Ich habe es nochmal von neu gemacht:

Zu a)

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{ a}~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } [\frac {n^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} ]_1^a = \lim_{a \to \infty } [ \frac {a^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} - \frac {1^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} ] \end{eqnarray*}$

Da doch der gesamte Ausdruck von $\begin{eqnarray*} \frac {a^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} \end{eqnarray*}$ gegen Null strebt (oder?) steht da jetzt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{ a}~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \frac {1^{1- \alpha }}{{ \alpha -1}} = \frac {1 }{{\alpha -1}} \end{eqnarray*}$

so, ich hoffe das stimmt jetzt erstmal soweit.
Nun die Frage, ist es konvergent oder nicht...

brain man sagte ja, dass man die Konvergenz daran sieht, ob das Integral einen reellen Wert annimmt oder nicht.

Wenn ich für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nun eine Zahl einsetze, die größer als 1 ist, habe ich immer einen reelen Wert. Das heißt doch, aufgrund dieser Tasache, kann ich doch sagen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{ a}~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \frac {1 }{{\alpha -1}} \end{eqnarray*}$ ist konvergent für $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$

dies gilt doch auch, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ ist, oder? Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{ a}~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \frac {1 }{{\alpha -1}} \end{eqnarray*}$ ist konvergent für $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$

Wenn jedoch $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das INtegral divergent. Oder?

Habe ich vielleicht bis hier hin alles richtig gemacht? Oder habe ich immer noch einen Denkfehler?

Ich danke euch auf jedenfall für eure Hilfe Gott

Gott

22.04.2007, 16:21

therisen

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Zitat:

Original von der unbekannte
Da doch der gesamte Ausdruck von $\begin{eqnarray*} \frac {a^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} \end{eqnarray*}$ gegen Null strebt (oder?)

Zunächst einmal ist es sehr ungünstig als Variable für den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu nehmen, wenn du schon $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Exponenten hast (unübersichtlich!).

Überlege dir genau, für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der folgende Grenzwert endlich ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac {n^{1- \alpha }}{{1-\alpha}} \end{eqnarray*}$ bzw. es genügt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^{1- \alpha } \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Mach dir das auch mal an einem Beispiel klar.

Gruß, therisen

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22.04.2007, 17:52

der Ubekannte

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@therisen
ok, ich habe in $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^{1- \alpha } \end{eqnarray*}$ ein paar Zahlen für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Dabei habe ich gesehen, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist, so strebt $\begin{eqnarray*} n^{1- \alpha } \end{eqnarray*}$ gegen null.
Daraus folgt zumindest, dass die Aussage:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{ a}~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \frac {1 }{{\alpha -1}} \end{eqnarray*}$ ist konvergent für $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$
schonmal richtig ist, oder?

Wenn jedoch $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt (wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nur einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann. weil $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann laut Aufgabenstellung nicht negativ werden) so sieht die Sache ein wenig anders aus. Denn wenn ich Zahlen von 1 bis 0 in $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^{1- \alpha } \end{eqnarray*}$ einsetze, so wird der Wert immer größer je kleiner $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wird. Doch was sagt mir das aus? Heißt das, ich muss den Therm für die Konvergenz mitberücksichtigen?

Und therisen hatte ja noch gesagt, dass es ungünstig wäre den Grenzübergang als a zu bezeichnen. Es wäre aber nicht falsch, oder?

22.04.2007, 18:41

therisen

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Nein, falsch nicht, aber du läufst Gefahr deinen Korrektor zu verärgern Big Laugh

Big Laugh

Substituiere mal $\begin{eqnarray*} q := 1-\alpha \end{eqnarray*}$ und untersuche die Fälle $\begin{eqnarray*} q>0, q=0, q<0 \end{eqnarray*}$ . Beachte für $\begin{eqnarray*} q<0 \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} n^q = \frac{1}{n^{-q}} \end{eqnarray*}$ .

Wenn der Grenzwert unendlich ist, dann konvergiert dein Integral (und somit deine Summe) nicht. Du bist schon fast fertig, du musst es nur nochmal richtig aufschreiben.

Gruß, therisen

22.04.2007, 19:25

der Ubekannte

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@therisen, ich danke dir sehr für deine Geduld. Ich bin dir dafür sehr dankbar.

Also, ich habe für

$\begin{eqnarray*} q=0 , n^{-q} = \frac{1}{n^q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q > 0 , n^{-q} = \frac{1}{n^q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q<0 , n^{q} = \frac{1}{n^{-q}} \end{eqnarray*}$

Werte eingesetzt. und umso größere Werte ich für n in

$\begin{eqnarray*} q > 0 , n^{-q} = \frac{1}{n^q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q<0 , n^{q} = \frac{1}{n^{-q}} \end{eqnarray*}$

einsetze, so strebte der gesamte Ausdruck gegen null (bzw. unendlich).

Nur wenn ich für n in
$\begin{eqnarray*} q=0 , n^{-q} = \frac{1}{n^q} \end{eqnarray*}$
werte einsetze, so bleibt der Ausdruck immer 1.

Und du sagtest:

Zitat:

Original von therisen
Wenn der Grenzwert unendlich ist, dann konvergiert dein Integral (und somit deine Summe) nicht.

Wenn ich es richtig verstanden haben sollte, und auch alles richtig angewendet habe, so müsste es nur konvergent sein, wenn q= 0 ist. Und divergent, wenn q<0 und q>0.
Stimmt das?

Es tut mir jedoch sehr leid, falls ich wieder was falsch gemacht haben sollte. Ich bin dir aber sehr dankbar für deine Hilfe.

22.04.2007, 19:58

therisen

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Also wenn $\begin{eqnarray*} q=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist doch $\begin{eqnarray*} n^q = n^0 = 1 \end{eqnarray*}$ , also von n unabhängig, d.h. Grenzwert 1 (endlich!).

Ich glaube mit dem $\begin{eqnarray*} n^{-q} \end{eqnarray*}$ habe ich dich etwas verwirrt. Daher fasse ich nochmal die Grenzwerte zusammen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} n^q = \begin{cases} 1, & \text{falls } q=0 \\ \infty, & \text{falls } q>0 \\ 0, & \text{falls } q<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Also ist der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} q\leq 0 \end{eqnarray*}$ endlich und für $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ unendlich.

Der Fall $\begin{eqnarray*} q=0 \end{eqnarray*}$ ist aber ein Sonderfall, denn für $\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ ist die Stammfunktion falsch. Denn $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{n}~\dd n = \ln n \end{eqnarray*}$ . Nun ist aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\ln n = \infty \end{eqnarray*}$ , sodass die Reihe für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert (harmonische Reihe). Wann konvergiert sie nun also und wann nicht?

Gruß, therisen

22.04.2007, 20:13

der Ubekannte

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hmmm, ok .

Ich würde jetzt sagen, dass es nur konvergent ist, wenn $\begin{eqnarray*} q<0 \end{eqnarray*}$ ist.
Meine Begründung wäre folgende:

Für q>0 wäre es ja so, dass im Prinzip zum schluss dort $\begin{eqnarray*} \infty - \frac{1}{- \alpha +1} \end{eqnarray*}$ stehen würde. Das müsste ja eigentlich heißen, dass ich immer eine unednliche Zahl rausbekomme.

Wenn $\begin{eqnarray*} q<0 \end{eqnarray*}$ gilt, so gilt ja $\begin{eqnarray*} n^q = 0 \end{eqnarray*}$ (wie du sagtest). Das hieße ja dann $\begin{eqnarray*} 0 - \frac{1}{- \alpha +1} \end{eqnarray*}$ , also ein endlicher Wert.

Habe ich es nun richtig erkannt?

22.04.2007, 20:16

therisen

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Genau.

22.04.2007, 21:10

der Ubekannte

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Vielen, vielen dank therisen.
Ich glaube, ich habe es verstanden.
Ich werde mich sofort an die zweite Teilaufgabe rangehen. Um zu sehen, ob ich es wirklich verstanden habe.

22.04.2007, 21:12

therisen

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Noch eine kleine Frage an dich: Du hast das Ergebnis jetzt nur in Abhängigkeit von q angegeben. Kannst du es auch in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ angeben? (klingt komplizierter als es ist)

Viel Erfolg bei der anderen Aufgabe Freude

Freude

22.04.2007, 21:38

der Ubekannte

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Achso, meinst du vielleciht sowas:

(Anmerkung, auch wenn du mich darauf hingewiesen hast, dass ich das mit dem a sein lassen sollte, mache ich es trotzdem. weil das für mich irgendwie einleuchtender/einfacher ist)

Ich würde die AUfgabe jetzt folgendermaßen dem Korrekteur geben:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{ a}~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } [\frac {n^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} ]_1^a = \lim_{a \to \infty } [ \frac {a^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} - \frac {1^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} ] = \lim_{a \to \infty } [ \frac {a^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} - \frac {1}{{- \alpha +1}} ] \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } a^{1- \alpha} = \begin{cases} 1, & \text{falls } \alpha=1 \\ \infty, & \text{falls } \alpha <1 \\ 0, & \text{falls } \alpha > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun würde ich den gesonderten Fall erwähnen, worauf du mich hingewiesen hast :-)

Nun kann man doch einfach sagen, dass das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn \end{eqnarray*}$ nur dann konvergent ist, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ ist. Und sonst divergent.

Meinst du, dass wäre so korrekt?

Nun zu der zweiten Teilaufgabe. Da wollte ich erstmal fragen, ob ich überhaupt die Stammfunktion richtig gebildet habe. Mein vorgehen war folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty}~\frac{1}{n(lnn)^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } \int_{2}^{a}~\frac{1}{n(lnn)^{\alpha}}~dn \end{eqnarray*}$

Ich habe nun gesagt. dass t=ln n ist. Daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{2}^{a}~\frac{1}{nt^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } [\frac{nt^{- \alpha +1}}{{- \alpha +1}}]_2^{lna} \end{eqnarray*}$

habe ich das richtig gemacht? denn sobald derartige Rechungen ein bisschen kompliziert werden, kann das passieren, dass ich leider mächtige Fehler reinhaue.

22.04.2007, 21:49

therisen

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Zitat:

Original von der Ubekannte
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{ a}~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } [\frac {n^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} ]_1^a = \lim_{a \to \infty } [ \frac {a^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} - \frac {1^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} ] = \lim_{a \to \infty } [ \frac {a^{1- \alpha }}{{- \alpha +1}} - \frac {1}{{- \alpha +1}} ] \end{eqnarray*}$

Lass das $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn \end{eqnarray*}$ weg und schreibe noch dazu, dass du $\begin{eqnarray*} \alpha\neq 1 \end{eqnarray*}$ annimmst (sonst ist die Stammfunktion falsch).

Zitat:

Original von der Ubekannte
Nun kann man doch einfach sagen, dass das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{ \infty }~\frac {1}{n^{\alpha}}~dn \end{eqnarray*}$ nur dann konvergent ist, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ ist. Und sonst divergent.

Genau. Und nicht den Bezug zur Reihe vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von der Ubekannte
Nun zu der zweiten Teilaufgabe. Da wollte ich erstmal fragen, ob ich überhaupt die Stammfunktion richtig gebildet habe. Mein vorgehen war folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty}~\frac{1}{n(lnn)^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } \int_{2}^{a}~\frac{1}{n(lnn)^{\alpha}}~dn \end{eqnarray*}$

Ich habe nun gesagt. dass t=ln n ist. Daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{2}^{a}~\frac{1}{nt^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } [\frac{nt^{- \alpha +1}}{{- \alpha +1}}]_2^{lna} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist falsch. Wenn du substituierst, darf kein n mehr vorkommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

22.04.2007, 22:32

der Ubekannte

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Oh ok, zweiter versuch smile

smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{2}^{lna}~\frac{1}{t^{\alpha}}~dn = \lim_{a \to \infty } [\frac{t^{- \alpha +1}}{{- \alpha +1}}]_2^{lna} = \lim_{a \to \infty } \frac {(lna)^{- \alpha +1}}{- \alpha +1} - \frac {(ln2)^{- \alpha +1}}{- \alpha +1} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac {(lna)^{- \alpha +1}}{- \alpha +1} = \begin{cases} \infty, & \text{falls } \alpha <1 \\ 0, & \text{falls } \alpha > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das heißt, wir haben konvergenz wenn $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ ist und divergenz wenn $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ ist, haben wir auch hier einen Sonderfall. Eigentlich analog wie zu der ersten Aufgabe. So das wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, das integral divergent ist.

Hat sich wieder ein Fehler iengeschlichen?

22.04.2007, 23:14

therisen

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Super, alles richtig. smile

smile

23.04.2007, 07:27

der Ubekannte

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Zitat:

Original von therisen
Super, alles richtig. smile

smile

das ist ja klasse
Das habe ich aber auch nur dir zu verdanken. Vielen Dank nochmal :-)

23.04.2007, 19:44

Maria87

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Hallo,

ich habe auch mal eine Frage zu dieser Aufgabe hier.
Und zwar zu der zweiten Teilaufgabe.

Wie habt ihr das mit dem Substituieren gemacht? Und wieso haben sich die Grenzen verändert und so?
Ich verstehe das leider überhaupt nicht.

meint ihr, ihr könntet mir das bitte erklären? Wäre echt super lieb

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