Erzeugendensysteme |
| 08.12.2004, 10:42 | studka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Erzeugendensysteme Wenn ich einen bestimten Unterraum R^3 habe,(x/y/z)..z wird in Abhängigkeit von x und y angegeben. Müssen dann alle Vektoren des Erzeugendensystem dieses Kriterium (von z)erfüllen? Oder reicht es, dass sich alle Vektoren des unterraums durch das Erzeugendensystem darstellen lassen. Meine Überlegung dazu ist, dass alle Vektoren des Erzeugendensystem dieses Kriterium (von z)erfüllen müssen, denn wenn es dies nicht tut, können noch viel mehr Vektoren dargestellt werden, als im Unterraum definiert sind?! ...danke |
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| 08.12.2004, 10:55 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich verstehe bei dieser schreibweise gerade mal nur bahnhof.... ist (x/y/z) sowas? dann gibst du z in abhängigkeit von x und y an..... also derart? die dritte komponente ist also eine lineare (?) funktion von x und y? (also z.b. 3x+y oder so). wenn ich das so richtig vertanden habe, dann gilt natürlich folgendes: sei a aus dem Grundkörper, deine erzeugnisse im ganzen vektorraum haben dann die form: , also werden natürlich automatisch auch hier die bedingung für z erfüllt. das gilt aber nur, wenn f linear ist.... wenn f nichtlinear ist (z.b. einfach z=x²), dann wird das ganze komplizierter, dann hast du entweder werte für x und y gegeben, kannst z ausrechnen, dann hast du deinen unterraum, allerdings gilt die z=f(x,y) bedingung dann im allgemeinen nicht. oder aber sie sagen deine menge an vektoren sei: mit x,y aus IR und z wie angegeben von x und y abhängig. dann wäre diese vektorenmenge kein vektorraum. ich hoffe, du kannst was damit anfangen, ansonsten frag einfach noch mal nach. ich kann dann auch gerne noch mal (gegen)beispiele machen.... mfg jochen edit: "studka" bedeutet nicht zufällig, dass du in karlsruhe studierst, oder doch? |
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| 08.12.2004, 11:13 | studka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube es ist besser, mal die genauen Vektoren anzugeben.. Ich soll untersuchen, ob folgende Vektorsysteme (u1,u2,u3) ein Erzeugendensystem oder sogar eine Basis des Unterraums U des K-Vektorraums V bilden: V=R^3, K=R, U=spanR ,,); ---ich würde sagen, dass z=x+y ist U= u1=, u2=,u3= u3 würde nicht z=x+y erfüllen... |
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| 08.12.2004, 11:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na, das hättest gleich so schreiben können, da hätte ich mir den ganzen komplizierten schmus sparen können, der ja eindeutig am thema vorbeiging.... wieso so kompliziert? schaue doch erstmal, welcher Untervektorraum U überhaupt ist (d.h. prüfe erstmal die 3 vektoren oben auf lineare unabhängigkeit)... ergibt dir auch die dimension von U. mache selbiges mit dem erzeugnis von u1-u3. danach vergleiche erstmal die dimensionen der beiden UVR... kommst damit erst mal weiter? mfg jochen |
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| 08.12.2004, 11:33 | studka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tschuldigung... seh ich das richtig, wenn ich die Vektoren von U Null setze, dass dann rauskommt, dass sie nciht wirklich linear Unabhängig sind? Im Gegensatz zu den Vektoren von u1,u2,u3... weiß allerdings nicht so richtig, was ich davon habe.... |
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| 08.12.2004, 11:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe jetzt nicht verstanden, was du damit sagen willst? schau doch erstmal, ob u1, u2, u3 linear unabhängig sind |
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| 08.12.2004, 11:45 | studka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meiner Meinung nach, sind u1,u2,u3 linear unabhängig...aber ich weiß nun nicht richtig,was ich von dieser "Erkenntnis" habe... 
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| 08.12.2004, 13:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist richtig: sind u1,u2,u3 sind linear unabhängig. Aber Meinungen sind wandelbar und zählen in der Mathematik nicht viel. Ein Beweis wäre schon schöner. Jetzt mußt du eine Basis vom Unterraum U finden und schauen, welche Kombination aus u1,u2,u3 du brauchst, um diese Basis darzustellen. |
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| 08.12.2004, 14:01 | studka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe den Unterraum allgemein dargestellt: und dieser Unterraum lässt sich durch u1,u2,u3 darstellen, allerdings ist der Faktor vor u3 immer 0...brauch ihn also gar nicht Meine Frage is nun, ob die Menge={u1,u2,u3} trotzdem ein Erzeugendensystem von U ist, obwohl ich u3 gar nicht brauche... (u3 liegt auch gar nicht im Unterraum drin, deswegen weiß ich nun nicht, ob der im Erzeugendensystem drin sein darf) |
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| 08.12.2004, 14:03 | studka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achja.. und wenn's ein Erzeugendensystem ist,müsste es auch eine basis sein, da u1,u2,u3 linear unabhängig sind, allerdings ist das Eruegendensystem ja gar nciht minimal, weil ich ja u3 überhaupt nicht brauche ?! |
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| 08.12.2004, 14:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig. u1, u2 und u3 sind ein Erzeugendenssystem, aber nicht minimal, da man auf u3 verzichten kann. Also kann man sich auf u1 und u2 beschränken. Wie du gesehen hast, braucht man jeden von diesen beiden. Obendrein sind sie linear unabhängig. Das heißt: sie bilden eine Basis. |
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