Ähnlichkeit mit der Waldschen Gleichung

08.12.2004, 10:59

Frodo

Ähnlichkeit mit der Waldschen Gleichung

Es sei (X_i) eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und N eine Zufallsvariable mit WErten in IN_0. Es gelte für alle n in IN_0, dass Indiaktor I{N=n} unabhängig ist von X_(n+1), X_(n+2),... . Zeigen Sie, die folgende Gleichheit:

$\begin{eqnarray*} E( \sum_{n=1}^N~X_n) = E(N)*E(X_1) \end{eqnarray*}$

Unverständlicher kann ne Aufgabe für mich nicht sein. Wie gehe ich hier vor?
Kann ich annehmen das die Verteilungen gleichverteilt sind, weil gleicher Erwartungswert? unglücklich

08.12.2004, 11:22

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RE: Ähnlichkeit mit der Waldschen Gleichung
Das Problem ist hier, dass du hier eine Summe mit einer zufälligen Anzahl Summanden hast.

Du darfst also z.B. nicht schreiben:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left(\sum\limits_{n=1}^N X_n\right)\stackrel{?}{=}\sum\limits_{n=1}^N \mathbb{E}\left(X_n\right) \end{eqnarray*}$ ,

schließlich muss beim Erwartungswert der Zufall "rausgemittelt" sein, dass ist im rechten Ausdruck ganz offenbar nicht der Fall.

Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, dass du zunächst mal Unterereignisse [N=n] betrachtest, und den bedingten Erwartungswert der Summe mit der in diesem Unterfall dann festen Summandenanzahl n berechnest. Von diesen bedingten Erwartungswerten E( Summe | N=n ) kannst du dann anschließend zum eigentlichen Erwartungswert E(Summe) übergehen.

08.12.2004, 14:40

Frodo

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Versteh zum beispiel nicht wieso man das nicht machen darf, die Erwartungswerte sind doch linear! das gilt doch immer egal ob abhängig oder nicht...
und wieso gilt P(N=n) = E ( I {N=n})
mfg frodo

08.12.2004, 15:17

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Zitat:

Original von Frodo
Versteh zum beispiel nicht wieso man das nicht machen darf, die Erwartungswerte sind doch linear!

Sind sie auch, selbst bei abhängigen Summanden - aber die Anzahl der Summanden muss deterministisch sein, d.h., nicht vom Zufall abhängen, wenn du die Summe ausklammern willst. Und genau das ist bei N nicht der Fall, im Gegensatz zu allern anderen Beispielen, die du vielleicht bisher kennen gelernt hast.

Zitat:

Original von Frodo
und wieso gilt P(N=n) = E ( I {N=n})
mfg frodo

Diese Indikator-Funktion ist eine ganz normale diskrete Zufallsgröße mit den Werten 0 und 1, folglich gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E} I_{[N=n]} = 0\cdot P\left(I_{[N=n]}=0\right)+1\cdot P\left(I_{[N=n]}=1\right)=P\left(I_{[N=n]}=1\right)=P(N=n) \end{eqnarray*}$

08.12.2004, 22:58

Frodo

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das mit der indi-funktion scheint mir plausibel. mit dem determinismus noch nicht klar, muss man hier den holzfällerweg wählen und wenn ja wie sieht der aus?? würde mich interessieren.
mfg frodo

09.12.2004, 07:47

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Der Anfang des "Holzfällerwegs" ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left(\sum\limits_{n=1}^N X_n\right)=\mathbb{E}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} X_n\cdot I_{[N\geq n]}\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{E}\left(X_n\cdot I_{[N\geq n]}\right) \end{eqnarray*}$

(Genau genommen, ist das auch etwas "unsauber": Man müsste zeigen, dass die rechts stehende Reihe tatsächlich konvergiert, um überhaupt diese Umformung vornehmen zu können!)

Den Summanden der Reihe kann man jetzt weiter umformen.

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