K-Vektorraum

08.12.2004, 11:15

Assal

K-Vektorraum

Hallo!

hab mal wieder ein Problem mit der Aufgabe hier:

1. Pruefen Sie, ob im K-Vektorraum K^3 mit K = Z5 das System aus den Vektoren
v1 = (2, 4, 1 ), v2 = (0, 1, 2) v3 = (1, 2, 3)
eine Basis bildet?

Ueber jede Hilfe waere ich dankbar!
Assal

08.12.2004, 11:34

klarsoweit

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RE: K-Vektorraum
ist Z5 die Restklasse bei Division durch 5 ? Das müsste erstmal geklärt sein, was Z5 ist.

08.12.2004, 12:12

Assal

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RE: K-Vektorraum
Also Z5 besteht aus 0, 1, 2, 3, 4

08.12.2004, 13:28

klarsoweit

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RE: K-Vektorraum
ok, dann bilde die Matrix aus den Vektoren v1, v2 und v3 als Zeilen und bringe sie in Zeilenstufenform.

10.12.2004, 12:40

Assal

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RE: K-Vektorraum
O.K.
Also, so etwa?

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 1 * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 2 * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 3 * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

Damit ist dann bewiesen, dass das System frei ist und falls diese Bedingung nicht gilt, dann ist das auch keine Basis oder muss ich noch beweisen, dass es auch kein Erzeugendensystem ist?
Ach, übrigens: Was bedeuten die Balken über die Zahlen? (die hab ich nicht hinschreiben können!)

10.12.2004, 12:48

klarsoweit

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RE: K-Vektorraum

Zitat:

Original von Assal
O.K.
Also, so etwa?

das hatte ich zwar jetzt nicht gemeint, geht aber auch.

Zitat:

Original von Assal
Damit ist dann bewiesen, dass das System frei ist

Damit ist noch nichts bewiesen! Du mußt jetzt zeigen, dass aus dieser Gleichung unbedingt folgt, dass alpha1 = alpha2 = alpha3 = 0.
Wenn du die Gleichung anschaust, hast du für jede Komponente eine Gleichung. Die mußt du nach den alpha's auflösen.

10.12.2004, 12:58

Assal

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RE: K-Vektorraum
Also:
2 * $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 1 + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 3 = 0
4 * $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 1 + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 2 + 2 * $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 3 = 0
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 1 + 2 * $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 2 + 3* $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 3 = 0

So richtig?

10.12.2004, 13:01

klarsoweit

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RE: K-Vektorraum
richtig. Und dieses Gleichungssystem mußt du nach den alpha's auflösen.

10.12.2004, 13:05

Assal

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RE: K-Vektorraum
Danke smile